Rengashomomorfismin ydin ja kuva

Rengashomomorfismin f : (R, +, ^. ) (R', +', ^. ') ydin on

Rengashomomorfismin f : (R, +, ^. ) (R', +', ^. ') kuva on

Koska (R, +, ^. ) on itsensä triviaali alirengas, saadaan sivun Renkaiden homomorfia lauseen kohdan (i) perusteella, että (Im (f), +', ^. ') on renkaan (R', +', ^. ') alirengas.

Lause. Rengashomomorfismin f : (R, +, ^. ) (R', +', ^. ') ydin ker(f) on renkaan (R, +, ^. ) ihanne.

Todistus. Todistetaan väite käyttäen ihannekriteeriä. Koska f(0_R) = 0_R', niin 0_R ker(f) ja täten ker(f) on epätyhjä joukko.

Jos a,b ker(f), niin

Täten a - b ker(f). Kaikilla r R ja a ker(f) saadaan käyttäen hyväksi sivun Renkaan aritmetiikkaa lausetta:

Täten r ^. a ker(f). Vastaavasti nähdään, että a ^. r ker(f).

Jos rengashomomorfismia f : (R, +, ^. ) (R', +', ^. ') ajatellaan vain ryhmähomomorfismina f : (R, +) (R', +'), niin kuvauksen ydin ja kuva eivät muutu, vaan ovat edelleen edellä määritellyt joukot. Täten sivun Ryhmähomomorfismin ydin ja kuva toisen lauseen nojalla rengashomomorfismi f : (R, +, ^. ) (R', +', ^. ') on injektio jos ja vain jos ker(f) = {0_R }.

Määritelmä. Rengashomomorfismia f : (R, +, ^. ) (R', +', ^. ') sanotaan (rengas)isomorfismiksi, jos kuvaus f on bijektiivinen. Jos on olemassa jokin isomorfismi f : (R, +,  ^.   ) (R', +', ^. '), rengasta (R, +, ^. ) sanotaan isomorfiseksi renkaan (R', +', ^. ') kanssa. Tällöin voidaan merkitä (R, +, ^. ) (R', +', ^. ').

Erilaisista homomorfismeista käytetään myös muita nimityksiä:
monomorfismi = injektiivinen homomorfismi,
epimorfismi = surjektiivinen homomorfismi,
endomorfismi = homomorfismi systeemiltä itseensä,
automorfismi = isomorfismi systeemiltä itselleen.

Linkit:
Renkaiden homomorfia
Renkaan aritmetiikkaa
Ryhmähomomorfismin ydin ja kuva