Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003 		RENGAS
 

Renkaiden homomorfialause

Lause. [Renkaiden homomorfialause] Jos f : (R, +, . ) --> (R', +', . ') on rengashomomorfismi, niin

(R/ ker(f ),+, .) - ~ (Im (f),+',.').

Tarkemmin: f indusoi rengasisomorfismin

F : (R/ ker(f),+, .) --> (Im (f),+',.'),

missä F(a + ker(f)) = f(a) kaikilla a (- R.

Todistus. Ryhmien homomorfialauseen nojalla kuvaus F : (R/ ker(f), +) --> (Im (f), +') on ryhmäisomorfismi. On siis todistettava, että kuvaus F toteuttaa homomorfiaehdot RH2 ja RH3.

Kaikilla a,b (- R on

' ' F((a+ker(f)).(b+ker(f ))) = F (a.b+ker(f )) = f(ab) = f(a).f (b) = F (a+ker(f )).F (b+ker(f)),

joten RH2 toteutuu. Lisäksi F(1R + ker(f)) = f(1R) = 1R' = 1Im (f), joten RH3 toteutuu. []

Kuten ryhmillä, saadaan renkailla homomorfialauseen nojalla alla oleva kommutoiva diagrammi. Olkoon I renkaan (R, +, . ) ihanne, silloin kuvausta p

p : (R, +, .) --> (R/I, +, .), p(a) = a + I A a (- R

sanotaan (kanoniseksi) projektioksi. Kuvaus p on rengashomomorfismi, sillä kaikilla a,b (- R on

p(a + b) = (a + b) + I = (a + I) + (b + I) = p(a) + p(b)

ja

p(a .b) = a .b + I = (a + I) .(b + I) = p(a) .p(b).

Lisäksi p(1R ) = 1R + I = 1R/I. Kuvaus p on triviaalisti surjektiivinen.

Olkoon f : (R, +, . ) --> (R', +', . ') rengashomomorfismi. Valitaan nyt I = ker(f). Homomorfialauseen nojalla f(a) = F(a + ker(f)) = F(a + I) = F(p(a)) = (Fop)(a) kaikilla a (- R, missä F on kuvaus (R/ ker(f), +, . ) --> (Im (f), +', . '). Siis f = Fop. Renkaan (R, +,  .   ) homomorfiset kuvat vastaavat siis bijektiivisesti renkaan R jäännösluokkarenkaita.

PIC

Linkit:
Ryhmien homomorfialause
Renkaiden homomorfia
Rengashomomorfismin ydin ja kuva