Miksi kompleksilukuja?

Lukualueen vaiheittaisen laajentamisen luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin ( $\text{[math]}$ ) voidaan katsoa syntyvän tarpeesta löytää ratkaisu yhä uusille yhtälötyypeille: $\text{[math]}$ ei ratkea luonnollisten lukujen joukossa, mutta kylläkin kokonaislukujen joukossa; $\text{[math]}$ ei ratkea kokonaislukujen, mutta kyllä rationaalilukujen joukossa; yhtälöllä $\text{[math]}$ ei ole rationaalista ratkaisua, mutta reaalilukujoukkoon kuuluva ratkaisu löytyy.

Samaa ajattelua voidaan yrittää jatkaa: Yhtälö $\text{[math]}$ ei ratkea reaalilukujoukossa, mutta voitaisiinko lukujoukkoa laajentaa siten, että sille kuitenkin löytyisi ratkaisu?

Suoraviivainen mahdollisuus on päättää ottaa käyttöön ’luku’ $\text{[math]}$ , jolla on ominaisuus $\text{[math]}$ , ja sopia lisäksi, että sillä lasketaan reaalilukujen laskusääntöjä noudattaen. Tällöin on $\text{[math]}$ , ja yhtälölle $\text{[math]}$ on saatu kaksi ratkaisua, $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ . Jotenkin luontevaa on tällöin myös kirjoittaa $\text{[math]}$ , vaikka tämä joissakin yhteyksissä osoittautuukin hieman ongelmalliseksi.

Edellä oleva jättää kuitenkin avoimeksi, mikä $\text{[math]}$ oikeastaan on ja voidaanko ristiriitoihin joutumatta sopia, että sillä lasketaan reaalilukujen tapaan.

Kompleksiluvut määritelläänkin tämän takia hieman toisin ottamalla lähtökohdaksi xy-taso $\text{[math]}$ , jota ryhdytään kutsumaan kompleksitasoksi. Määrittelyprosessin tuloksena saadaan kompleksilukualgebra, jossa neljä peruslaskutoimitusta toimivat samoilla säännöillä kuin reaalilukualgebrassa. Lisäksi on voimassa $\text{[math]}$ . (Kaikki aritmetiikka ei kuitenkaan toimi samoin kuin reaalialueella: $\text{[math]}$ . Jokin yhtäläisyysmerkeistä on ilmeisestikin väärä!)

Kompleksiluvut osoittautuvat merkityksellisiksi monissa muissakin suhteissa kuin polynomiyhtälöiden ratkaisemisessa. Niitä tarvitaan sekä monilla matematiikan osa-alueilla että sovellettaessa matematiikkaa muissa tieteissä.

Linkkejä

Kompleksilukujen määrittely

Simo K. Kivelä 20.04.2005