Kompleksilukujen määrittely

Lähtökohtana olkoon xy-taso, ts. joukko

\text{[math]}

Tätä aletaan kutsua kompleksitasoksi tai kompleksilukujoukoksi ja sille käytetään symbolia $\text{[math]}$ . Joukon alkioita merkitään lyhyesti $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ jne. ja niitä kutsutaan kompleksiluvuiksi.

Joukon $\text{[math]}$ alkioille määritellään yhteenlasku ja kertolasku kaavoilla

Esimerkiksi kompleksilukujen $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ summa ja tulo ovat siis

Osoittautuu, että kompleksiluvuilla, so. muotoa $\text{[math]}$ olevilla symboleilla voidaan tällöin laskea samoilla säännöillä kuin reaaliluvuilla. Erityisesti on olemassa kompleksiluvut nolla $\text{[math]}$ ja ykkönen $\text{[math]}$ , jotka käyttäytyvät kuten reaaliluvut $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ : nollan lisääminen toiseen kompleksilukuun ei muuta sitä, toisen luvun kertominen ykkösellä ei muuta sitä.

Jokaisella kompleksiluvulla $\text{[math]}$ on vastaluku $\text{[math]}$ . Kun luku ja vastaluku lasketaan yhteen, saadaan nolla $\text{[math]}$ .

Jokaisella kompleksiluvulla $\text{[math]}$ , joka poikkeaa nollasta, ts. ainakin toinen luvuista $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ on $\text{[math]}$ , on myös käänteisluku:

\text{[math]}

Luvun ja käänteisluvun tulo on ykkönen $\text{[math]}$ , kuten laskemalla voidaan tarkistaa.

Erikoisasemassa osoittautuu olevan kompleksiluku $\text{[math]}$ , jolle annetaan nimeksi imaginaariyksikkö ja jolle käytetään symbolia $\text{[math]}$ . Tämän tulo itsensä kanssa, ts. toinen potenssi on kertolaskun määritelmän perusteella $\text{[math]}$ .

Linkkejä

Miksi kompleksilukuja?
Reaaliluvut kompleksilukujen osajoukkona
Kompleksilukujen kunta

Simo K. Kivelä 20.04.2005