Algebran peruslause

Kompleksikertoimiseksi polynomiksi kutsutaan lauseketta

\text{[math]}

missä kertoimet $\text{[math]}$ ovat kompleksilukuja. Muuttuja $\text{[math]}$ on luonnollisinta ajatella kompleksiseksi. Kyseessä on siten funktio $\text{[math]}$ .

Vastaavasti puhutaan reaalikertoimisesta polynomista, jos kertoimet $\text{[math]}$ ovat reaalilukuja. Reaalikertoiminen polynomi on kompleksikertoimisen erikoistapaus, ts. jokaista reaalikertoimista polynomia voidaan ajatella myös kompleksikertoimisena. Muuttuja $\text{[math]}$ voidaan tällöin ajatella joko reaaliseksi tai kompleksiseksi: kyseessä on funktio $\text{[math]}$ tai $\text{[math]}$ .

Jos $\text{[math]}$ , on polynomin asteluku $\text{[math]}$ .

Algebran peruslauseen mukaan jokaisella vähintään ensimmäistä astetta olevalla kompleksikertoimisella polynomilla $\text{[math]}$ on ainakin yksi (reaalinen tai kompleksinen) nollakohta, so. on olemassa $\text{[math]}$ siten, että $\text{[math]}$ .

Algebran peruslause ei päde reaalialueella: esimerkiksi polynomilla $\text{[math]}$ ei ole lainkaan nollakohtia reaalilukujoukossa $\text{[math]}$ . Kompleksilukujoukko onkin siinä mielessä reaalilukuja täydellisempi, että algebran peruslause saa yksinkertaisen muodon.

Algebran peruslause on luonnollisinta todistaa kompleksifunktioiden teorian pohjalta.

Linkkejä

Polynomin tekijöihin jako

Simo K. Kivelä 29.04.2005