Astetta olevalla kompleksikertoimisella (tai reaalikertoimisella) polynomilla
on algebran peruslauseen mukaan ainakin yksi (mahdollisesti
kompleksinen) nollakohta
. Tällöin siis on
.
Jakolaskun tuloksena saadaan osamäärä
, joka on
-asteinen polynomi, ja jakojäännös
. Koska jakojäännös on alempaa
astetta kuin jakaja, on polynomin
asteluku
, ts. kyseessä on vakio:
. Tällöin on
Sijoittamalla tähän saadaan
, jolloin
ts. polynomi on jaollinen tekijällä
.
Askel voidaan toistaa: Jos , polynomilla
on nollakohta
ja
on jaollinen tekijällä
. Tällöin
.
Näin voidaan jatkaa, kunnes päädytään yhtälöön
Polynomin asteluku on
, joten kyseessä on vakio eikä algebran
peruslausetta enää voida soveltaa. Oikeanpuolen kertolasku osoittaa, että kyseessä
on potenssin
kerroin, ts.
.
Siis:
Polynomi voidaan aina jakaa ensimmäistä astetta oleviin tekijöihin:
Luvut ovat polynomin
nollakohdat. Niiden joukossa
saattaa olla yhtä suuria ja reaalisenkin polynomin tapauksessa ne saattavat
kaikkikin olla kompleksisia. Jos yhtä suuret juuret lasketaan kertalukunsa
mukaisesti, ts. otetaan niin moneen kertaan kuin ne tekijöissä esiintyvät, voidaan
sanoa, että astetta
olevalla polynomilla on
nollakohtaa.
Tarkkoja arvoja polynomin nollakohdille ei aina voida löytää. Viidennen ja korkeampien asteiden polynomien nollakohdille ei ole olemassa yleisiä ratkaisukaavoja. Mielivaltaisen tarkkoja numeerisia approksimaatioita voidaan kyllä löytää.
Linkkejä
Polynomit, algebran peruslause
Reaalikertoimisen polynomin nollakohdat
Esimerkki polynomin tekijöihin jakamisesta
Neljännen asteen polynomin kuvaaja ja nollakohdat (interaktiivinen dokumentti)
Simo K. Kivelä 03.05.2005