Homogeeninen vakiokertoiminen lineaariyhtälö

1) Viidettä kertalukua oleva vakiokertoiminen homogeeniyhtälö

y⁽⁵⁾ - 9y⁽⁴⁾ + 7y''' + 77y'' - 144y' - 364y = 0

ratkaistaan luontevimmin yritteellä y = e^rx. Kun tämä sijoitetaan yhtälöön saadaan

(r⁵ - 9r⁴ + 7r³ + 77r² - 144r - 364)e^rx = 0.

Koska eksponenttitekijä voidaan jakaa pois, saadaan luvulle r viidennen asteen karakteristinen yhtälö

r⁵ - 9r⁴ + 7r³ + 77r² - 144r - 364 = 0,

jonka juuret ovat r₁ = -2, r₂ = -2, r₃ = 3 + 2i, r₄ = 3 - 2i, r₅ = 7.

Yleisessä tapauksessa yhtälön algebrallinen ratkaiseminen ei välttämättä onnistu. Tällöin juurille voidaan etsiä likiarvot numeerisilla menettelyillä, mutta tämä luonnollisesti johtaa epätarkkuuteen differentiaaliyhtälön ratkaisussa. Kvalitatiivisesti ratkaisun käyttäytymistä päästään kyllä tällöinkin tutkimaan.

Kutakin karakteristisen yhtälön juurta kohden voidaan muodostaa lineaarisesti riippumattomaan perusjärjestelmään kuuluva ratkaisu:

Koska r₅ = 7 on yksinkertainen juuri, on vastaava perusratkaisu y₅ = e^7x.

Vastaavalla tavalla juurta r₁ = -2 vastaa perusratkaisu y₁ = e^-2x. Kyseessä on kuitenkin kaksinkertainen juuri, jolloin sitä vastaamaan tarvitaan myös toinen perusratkaisu. Tämä saadaan lisäämällä muuttujan x ensimmäinen potenssi kertoimeksi: y₂ = xe^-2x. Jos kyseessä olisi kolminkertainen juuri, olisi kolmannessa perusratkaisussa muuttujan x toinen potenssi: x²e^-2x jne.

Kompleksista juuriparia r₃ = 3 + 2i, r₄ = 3 - 2i vastaisivat oikeastaan lineaarisesti riippumattomat kompleksiset ratkaisut e^(3+2i)x ja e^(3-2i)x, mutta näiden sijaan voidaan ottaa reaaliset muodot y₃ = e^3x sin(2x), y₄ = e^3x cos(2x).

Differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on perusratkaisujen lineaariyhdistely:

y = C₁e^-2x + C₂xe^-2x + C₃e^3x sin(2x) + C₄e^3x cos(2x) + C₅e^7x.

2) Differentiaaliyhtälön

y⁽⁴⁾ - 4y''' + 14y'' - 20y' + 25y = 0

tapauksessa karakteristisella yhtälöllä

r⁴ - 4r³ + 14r² - 20r + 25 = 0

on kaksinkertainen kompleksinen ratkaisu: r₁ = r₂ = 1 + 2i, r₃ = r₄ = 1 - 2i.

Kompleksisessa muodossa perusratkaisut olisivat tällöin e^r₁x, e^r₃x, xe^r₁x, xe^r₃x, mutta näitä vastaavat reaaliset ratkaisut e^x sin(2x), e^x cos(2x), xe^x sin(2x), xe^x cos(2x).

Yleinen ratkaisu on siten

y = C₁e^x sin(2x) + C₂e^x cos(2x) + C₃xe^x sin(2x) + C₄xe^x cos(2x).