Vakiokertoiminen homogeeniyhtälö

Kertalukua n oleva lineaarinen vakiokertoiminen homogeeninen differentiaaliyhtälö on

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1y^(n-1) + . . . + a₁y' + a₀y = 0,

missä kertoimet a_k ovat vakioita. Yleisen lineaariyhtälöiden teorian mukaan tämän ratkaisu on muotoa

y = C₁y₁(x) + C₂y₂(x) + . . . + C_ny_n(x),

missä funktiot y_k ovat lineaarisesti riippumattomia.

Yhtälö voidaan ratkaista yritteellä y = e^rx, missä luku r määrätään siten, että yrite toteuttaa yhtälön. Yritteen derivaatat ovat yksinkertaisia: y^(k) = r^ke^rx. Kun nämä sijoitetaan differentiaaliyhtälöön, saadaan

(rⁿ + a_n-1r^n-1 + . . . + a₁r + a₀)e^rx = 0.

Tekijä e^rx voidaan jakaa pois, ja päädytään polynomiyhtälöön, ns. karakteristiseen yhtälöön

rⁿ + a_n-1r^n-1 + . . . + a₁r + a₀ = 0.

Jos tämän juuret r₁,  r₂,  . . . ,  r_n ovat kaikki reaalisia ja eri suuria, on löydetty lineaarisesti riippumattomat perusratkaisut:

y₁(x) = e^r₁x,  y₂(x) = e^r₂x,  . . . ,  y_n(x) = e^r_nx.

Jos joukossa on yhtä suuria juuria, ei perusratkaisuihin voida ottaa kahteen kertaan samaa funktiota, koska tällöin systeemistä tulisi lineaarisesti riippuva. Voidaan osoittaa, että kahden yhtä suuren juuren (r₁ = r₂ = r) tapauksessa vastaaviksi lineaarisesti riippumattomiksi perusratkaisuiksi kelpaavat y₁(x) = e^rx ja y₂ (x) = xe^rx. Jos yhtä suuria juuria on enemmän, vastaaviin lineaarisesti riippumattomiin ratkaisuihin tulee korkeampia muuttujan x potensseja: y₃(x) = x²e^rx jne.

Jos juurten joukossa on kompleksilukuja, nämä esiintyvät liittolukupareina: r₁ = + i, r₂ = - i. Vastaavat perusratkaisut voitaisiin kirjoittaa kompleksisen eksponenttifunktion avulla muodossa

y₁(x) = e^(+i)x,   y₂(x) = e^(-i)x,

mutta koska differentiaaliyhtälö on reaalinen, on luontevampaa käyttää reaalisia perusratkaisuja. Eulerin kaavan e^it = cos t + i sin t avulla voidaan kompleksisten eksponenttifunktioiden avulla lausutut ratkaisut muuntaa reaaliseen muotoon, jossa lineaarisesti riippumattomina funktioina ovat

y₁(x) = e^x sin(x),   y₂(x) = e^x cos(x).