Esimerkit : Separoituvat ja niihin palautuvat yhtälöt

Separoituva yhtälö

Koska differentiaaliyhtälö y' = xy voidaan kirjoittaa muotoon

1 y- dy dx- = x,

se on separoituva, ja ratkaisu saadaan muodossa

integral 1- y dy = integral x dx + C.

Integroinnit antavat

ln|y| = x2 -2- + C,

jolloin

y = ±eCex2/2 = C1ex2/2,

missä on merkitty C1 = ±eC.

Tähän muotoon päästään suoraankin kirjoittamalla integroinnissa vakio muotoon ln|C|:

integral 1 -- y dy = integral x dx + ln|C|,
ln|y| = x2/2 + ln|C|,
|y| = |C|ex2/2,
y = Cex2/2.
Vakion kirjoittaminen tähän muotoon ei rajoita sen mahdollisia arvoja, sillä ln|C| saa kaikki positiiviset ja negatiivset arvot, kun C/=0. Jos C = 0, saadaan yksittäisratkaisuksi y(x) = 0. Tämä on alkuperäisen yhtälön ratkaisu, mutta ei separoituun muotoon kirjoitetun yhtälön ratkaisu nimittäjän nollaksi tulemisen takia. Tämän johdosta arvo C = 0 on erikoistapaus ratkaisuprosessin kannalta.

Ratkaiseminen: separoituva yhtälö
SKK 15.5.2001