Separoituva yhtälö

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on separoituva, jos se voidaan kirjoittaa muotoon f(y)y' = g(x) eli

f(y(x))y'(x) = g(x),

missä f ja g ovat tarkastelualueessa määriteltyjä integroituvia funktioita.

Integroimalla puolittain muuttujan x suhteen saadaan

f(y(x))y'(x) dx = g(x) dx + C,

missä C on integroimisvakio. Sijoittamalla vasemman puolen integraalissa y = y(x), jolloin dy = y' (x) dx, saadaan

f(y) dy = g(x) dx + C.

Tähän muotoon päästään muistisäännönomaisesti suoraankin käyttämällä derivaatalle Leibnizin merkintää y' = , jolloin yhtälö saa muodon

f(y) = g(x).

Laskemalla Leibnizin symbolilla kuin millä tahansa osamäärällä saadaan separoitu muoto f(y) dy = g(x) dx, missä muuttujat on eroteltu eri puolille yhtäläisyysmerkkiä. Tämä integroidaan puolittain.

Mikäli funktioiden f ja g integraalifunktiot F ja G ovat löydettävissä, päädytään muotoon

F (y) = G(x) + C.

Tämä on differentiaaliyhtälön ratkaisu implisiittisessä muodossa, ts. muodossa, joka ei suoraan anna funktiota y(x). Ratkaisemalla saatu yhtälö y:n suhteen — jos mahdollista — löydetään myös funktion y lauseke.

Menettelyn periaatteellisena edellytyksenä on, että ratkaisu y(x) on tarkastelualueessa olemassa. Muutoin ei integroimismuuttujan vaihtoa y = y(x) voida vasemman puolen integraalissa tehdä. Käytännössä tähän ei yleensä kiinnitetä huomiota: ratkaisun olemassaolo voidaan jälkikäteen tarkistaa sijoittamalla funktio y suoraan alkuperäiseen yhtälöön.