9 Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen

9.1 Epäoleelliset taso- ja avaruusintegraalit

Tehtävä 271

Olkoon A = { (x, y) | x > 0,  y > 0 }. Osoita hajaantuminen tai laske arvo epäoleelliselle tasointegraalille

(x + y)e^-x-y dxdy.

---

Tehtävä 272

Olkoon a > 0, b > 0, A = { (x, y) | x > 0,  y > 0 }. Laske epäoleellinen integraali

e^-(ax+by)2 da

sijoituksella u = ax + by,  v = y/x.

---

Tehtävä 273

Tutki, onko seuraava epäoleellinen integraali olemassa:

dxdy,   A = { (x, y) | 0 < x < 1,  0 < y < 1 }.

Vastaus

---

Tehtävä 274

Olkoon A = { (x, y) | x² + y² < 1 }. Laske arvo tai osoita hajaantuminen tasointegraaleille

a)  ln da,   b)  da;     r = .

---

Tehtävä 275

Millä kokonaislukuarvoilla p avaruusintegraali

dv

suppenee, kun B on yksikköpallo { (x, y, z) | x² + y² + z² < 1 }? Tässä on r = .

Vastaus

---

Tehtävä 276

Laske epäoleelliset integraalit

a)  e^-x2 dx,     b)  e^-x2-y2 dxdy,     c) e^-x2-y2-z2 dxdydz.

---

Tehtävä 277

Laske arvo tai osoita hajaantuminen tasointegraalille

.

---

Tehtävä 278

Laske arvo tai osoita hajaantuminen avaruusintegraalille

.

---

Tehtävä 279

Olkoon f : ² koko tasossa jatkuva ja rajoitettu funktio. Olkoon olemassa vakiot a, c ja > 2 siten, että

r > a 0 < f(x, y) < ,

missä r = . Osoita, että epäoleellinen integraali ²f suppenee.

---

Tehtävä 280

Olkoon funktio f : A ² jatkuva ja rajoitettu mitallisessa joukossa A paitsi pisteessä (x₀, y₀) A. Olkoon edelleen olemassa vakiot c ja < 2 siten, että

0 < f(x, y) <

muualla paitsi pisteessä (x₀, y₀). Osoita, että epäoleellinen integraali f suppenee.

---

9.2 Integraalin derivointi parametrin suhteen

Tehtävä 281

Muodosta seuraavat derivaatat laskematta integraalia ensin:

a) t dt,     b)  dt,     c)  dt.

Tarkista tulos integroimalla ensin ja sen jälkeen derivoimalla, mikäli mahdollista.

---

Tehtävä 282

Muodosta

ln(1 + tx) dt

a) derivoimalla integraalimerkin alla, b) integroimalla ensin.

---

Tehtävä 283

Olkoon

f(x) = dt,   x .

Laske f' (x) välillä [0, ]. Esitä funktiolle f yksinkertaisempi lauseke tällä välillä laskematta eo. integraalia. Onko funktio koko reaaliakselilla jaksollinen? Piirrä funktion kuvaaja.

Vastaus

---

Tehtävä 284

Funktio f määritellään asettamalla

f(t) = dx,   t > 0.

Laske f' (t).

---

Tehtävä 285

Olkoon x > -1. Laske integraali

f(x) = t^x dt

ja derivoi saatu yhtälö puolittain muuttujan x suhteen n kertaa.

---

Tehtävä 286

Millä muuttujan t arvolla funktio

f(t) = e^-x2 dx

saa suurimman arvonsa?

---

Tehtävä 287

Yhtälö

e^t dt + sin t dt = 0

määrittelee funktion y(x). Lausu implisiittistä derivointia käyttäen integraaleja laskematta y' (x) muuttujien x ja y avulla.

---

Tehtävä 288

Laske f'(x), kun

a) f(x) = e^xt2 dt,     b) f(x) = cos(xt²) dt  (x > 0).

---

Tehtävä 289

Olkoon

F (s) = dx,     s > 0.

Laske integraali. Totea, että integraalimerkin alla derivoimisen edellytykset ovat voimassa ja laske derivaatta F '(s) sekä integraalimerkin alla derivoimalla että suoraan laskemastasi lausekkeesta. Miten tulosta voidaan käyttää integraalin

dx

laskemiseen?

---

Tehtävä 290

Funktion

F (s) = f(s, t) dt,   missä f(s, t) = s³e^-s2t,

derivaattaa F '(0) ei voida laskea derivoimalla integraalimerkin alla. Totea, että asiaa koskevan lauseen oletukset eivät ole voimassa: ei ole olemassa sellaista funktiota g(t), että

|f_s(s, t)| < g(t)   s [-1, 1]    ja  g(t) dt < .

---

Tehtävä 291

Määritä funktion

F (s) = e^-st dt,   s > 0,

kaikkien kertalukujen derivaatat derivoimalla integraalimerkin alla. Miksi derivointi on sallittua? Johda derivaattojen avulla tulos

tⁿe^-t dt = n!,   n .

Vastaus

---

Tehtävä 292

Gammafunktio määritellään integraalilla

(x) = t^x-1e^-t dt,   x > 0.

Mitä edellinen tehtävä kertoo gammafunktion arvoista, kun argumenttina on luonnollinen luku? Piirrä gammafunktion kuvaaja. Tarkastele tällöin myös negatiivisia muuttujan arvoja; funktio määritellään näillä arvoilla muulla tavoin kuin em. integraalilla.

Vastaus

---