Olkoon reaalikertoimisen polynomin kompleksinen nollakohta. Tällöin on
Siirtymällä puolittain liittolukuihin saadaan
koska summan ja tulon liittoluvut voidaan muodostaa termeitttäin ja tekijöittäin. Polynomin reaalikertoimisuuden takia tämä saa muodon
ts. .
Siis:
Jos reaalikertoimisella polynomilla on nollakohtana kompleksiluku , myös liittoluku on polynomin nollakohta. Reaalikertoimisen polynomin kompleksiset juuret esiintyvät aina tällä tavoin pareittain.
Tällaisessa tapauksessa polynomin esityksessä ensimmäisen asteen tekijöiden avulla on tekijät ja . Näiden tulo on
mikä on reaalikertoiminen toisen asteen tekijä.
Siis:
Reaalikertoiminen polynomi voidaan aina jakaa enintään toista astetta oleviin reaalikertoimisiin tekijöihin. Reaalisia nollakohtia vastaavat ensimmäisen asteen tekijät, nollakohtina olevia liittolukupareja vastaavat toisen asteen tekijät.
Linkkejä
Polynomin tekijöihin jako
Esimerkki polynomin tekijöihin jakamisesta
Simo K. Kivelä 03.05.2005