Toisen kertaluvun lineaarinen epähomogeeninen yhtälö: yksittäisratkaisu sopivalla yritteellä

Toisen kertaluvun lineaarista epähomogeenista alkuarvoprobleemaa

(x + 1)y'' - xy' - y = (x + 1)²,   y(0) = y'(0) = 0

vastaavan homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu on

y = C₁e^x + C₂e^x dt.

Epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu saadaan lisäämällä tähän jokin epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu.

Yhtälön muodon perusteella saattaisi olla mahdollista löytää yksittäisratkaisuksi toisen asteen polynomi. Sopiva yrite olisi siten y = ax² + bx + c, missä kertoimet a, b ja c määritetään siten, että yhtälö toteutuu.

Sijoittamalla yrite yhtälöön saadaan

2a(x + 1) - x(2ax + b) - (ax² + bx + c) = (x + 1)².

Tämä sievenee muotoon

-3ax² + 2(a - b)x + (2a - c) = x² + 2x + 1.

Jotta oikean ja vasemman puolen polynomit olisivat samat, tulee kertoimien olla samat: -3a = 1, a - b = 1, 2a - c = 1. Tästä seuraa a = -, b = -, c = -, jolloin yksittäisratkaisu on

y = -(x² + 4x + 5).

Differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on siis

y = C₁e^x + C₂e^x dt - (x² + 4x + 5).

Alkuarvoprobleeman ratkaisu saadaan vaatimalla, että yleinen ratkaisu toteuttaa alkuehdot. Ehdosta y(0) = 0 seuraa C₁ - = 0. Koska

y' = C₁e^x + C₂e^x dt + - (2x + 4),

seuraa ehdosta y'(0) = 0 yhtälö C₁ + C₂ - = 0. On siis oltava C₁ = ja C₂ = -. Alkuarvoprobleeman ratkaisu on siten

y =    alueessa x > -1.