Lineaariyhtälön ratkaisun olemassaolo

Lineaariset differentiaaliyhtälöt ovat varsin hyvin käyttäytyviä: alkuarvoprobleemalle on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu sangen yleisillä edellytyksillä.

Lause. Olkoon tarkasteltavana normaalimuotoinen kertalukua n oleva lineaarinen (homogeeninen tai epähomogeeninen) differentiaaliyhtälö

y⁽ⁿ⁾ + P_n-1(x)y^(n-1) + . . . + P₁(x)y' + P₀(x)y = R(x)

(missä siis korkeimman kertaluvun derivaatan kerroin on = 1) ja alkuehto

y(x₀) = y₀,   y'(x₀) = y₁,   . . . ,   y^n-1(x₀) = y_n-1.

Jos funktiot P_k, k = 0, 1, . . . , n - 1, ja R ovat jatkuvia tarkasteluvälillä [a, b], johon alkuehtokohta x₀ kuuluu, niin alkuarvoprobleemalla on tällä välillä yksikäsitteinen ratkaisu.

Ehto yhtälön normaalimuotoisuudesta on oleellinen. Esimerkiksi Eulerin yhtälön x² y'' - 4xy' + 6y = 0 kerroinfunktiot P₂(x) = x², P₁(x) = -4x ja P₀(x) = 6 ovat kyllä jatkuvia, mutta yhtälön yleinen ratkaisu y = C₁x² + C₂x³ toteuttaa vakioista C₁ ja C₂ riippumatta alkuehdon y(0) = y'(0) = 0. Alkuarvoprobleemalla on tällöin äärettömän monta ratkaisua. Jos toisaalta alkuehtona on vaikkapa y(0) = 0, y'(0) = 1, ei ratkaisua löydy lainkaan. Normaalimuodossa yhtälö onkin

y'' - y' + y = 0,

jolloin kerroinfunktiot eivät ole edes määriteltyjä alkuehtokohdassa x = 0.

Lause voidaan todistaa samaan tapaan kuin yleisen tapauksen ratkaisun olemassaoloa koskeva lause. Oleellisena erona on, että suorakulmion sijasta voidaan tarkastella y-suunnassa rajoittamatonta vyötä {(x, y) | a < x < b, - < y < }. Seurauksena on, että ei jouduta rajoittamaan väliä, jolla ratkaisu on olemassa.