Sisällön pääryhmät Potenssit ja polynomit Juuret [ 1 2 3 ] ESITIEDOT:  potenssi KATSO MYÖS:  reaalifunktiot,  kompleksiluvut

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Luvun a neliöjuureksi kutsutaan lukua, joka toiseen potenssiin korotettuna antaa luvun a. Kyseessä on siten yhtälön x² = a ratkaisu.

Vastaavalla tavalla määritellään korkeammat juuret. Jos n on luonnollinen luku, niin n:s juuri luvusta a on luku, joka korotettuna potenssiin n antaa luvun a, ts. kyseessä on yhtälön xⁿ = a ratkaisu.

Tapauksessa n = 3 käytetään nimitystä kuutiojuuri.

Edellä olevat määrittelyt merkitsevät, että juuren arvo ei (yleensä) ole yksikäsitteinen. Esimerkiksi luvun 4 neliöjuuria ovat +2 ja -2. Arvojen lukumäärä riippuu siitä, mistä joukosta niitä etsitään. Jos haetaan reaalisia arvoja, luvulla -4 ei ole neliöjuuria lainkaan; kompleksilukujoukosta haettaessa arvoja on kaksi: 2i ja -2i.

Kysymys arvojen lukumäärästä ratkeaa polynomiyhtälöiden ominaisuuksien avulla: Koska n:s juuri luvusta a on yhtälön xⁿ = a ratkaisu, arvoja on kompleksitasossa täsmälleen n kappaletta. Poikkeuksena on tapaus a = 0, jolloin ainoa juuri on 0. Jotkut juurista voivat olla reaalisia, mutta ainoastaan neliöjuuren tapauksessa voivat kaikki — molemmat — olla reaalisia.

Esimerkiksi kuutiojuuri luvusta -8 saa reaalisen arvon -2, mutta sillä on myös kompleksiset arvot 1 ± i. Kuudennella juurella luvusta 729 on kuusi arvoa: ±3, (±1 ± i), missä jälkimmäisen lausekkeen ±-merkit valitaan toisistaan riippumattomasti ja saadaan siis neljä eri kombinaatiota.

Lukija piirtäköön eo. juurten sijainnin kompleksitasoon. Syntyvä kuvio on yleistettävissä: Luvun a n:nnen juuren kaikki arvot sijaitsevat tasavälisesti kompleksitason origokeskisellä ympyrällä.

potenssi (kokonaisluku-)  yhtälö  yhtälö (polynomi-)  luonnollinen luku  reaaliluku  kompleksiluku  yhtälö (polynomi-)  kompleksitaso

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12