Huomioita kunnasta

Koska kunta on rengas, on siinä määritelty yhteen-, vähennys- ja kertolasku. Jos (K, +, ^. ) on kunta ja a,b K, niin vähennyslasku on a - b = a + (-b). Jakolasku määritellään tavalliseen tapaan, kun b0_K :

Kaikille a,b,c,d K, kun b0_K ja d0_K, saadaan soveltamalla renkaan laskulakeja, että

Osamäärillä lasketaan siis samoin kuin murtoluvuilla. Huomaa myös, että = a.

Jos ei ole sekaannuksen vaaraa, kunnassa (K, +, ^. ) merkitään usein

Koska kunta on kokonaisalue, sille on määritelty karakteristika char(K), ja tämä on joko 0 tai alkuluku sivun Kokonaisalue lauseen mukaan. Jos char(K) = 0, niin (K, +, ^. ) on ääretön kunta. Äärellisen kunnan karakteristika on alkuluku.

Jos char(K) = p on alkuluku, niin edellisessä yhtälössä n ^. 1 _K = n on n = 0 jos ja vain jos p | n.

Koska kunta on rengas, voidaan puhua sen ihanteista. Seuraava lause käsittelee tämän asian tyhjentävästi.

Lause. Kunnan (K, +, ^. ) ainoat ihanteet ovat K ja {0 _K}.

Todistus. Kuten sivulla Ihanne todetaan ovat K ja {0_K} kunnan K ihanteita. Olkoon I kunnan K ihanne ja I{0_K}. Koska ihanteen alkiot ovat kunnan alkioita, niin kaikilla a I on olemassa käänteisalkio, joten ne ovat yksiköitä. Sivun Ihanne huomion mukaan tästä seuraa, että I = K.

Olkoot (K, +, ^. ) ja (K', +', ^. ') kuntia. Rengashomomorfismia f : (K, +, ^. ) (K', +', ^. ') sanotaan myös kuntahomomorfismiksi, vastaavaa rengasisomorfismia sanotaan kuntaisomorfismiksi.

Lause. Jokainen kuntahomomorfismi f : (K, +, ^. ) (K', +', ^. ') on injektio ja siis indusoi kuntaisomorfismin F : (K, +, ^. ) (Im (f), +', ^. ').

Todistus. Sivun Rengashomomorfismin ydin ja kuva lauseen mukaan rengashomomorfismin ja siis tässä tapauksessa kuntahomomorfismin ydin on ihanne. Edellisen lauseen mukaan siis ydin on joko kunta itse tai nollaihanne. Jos ydin on K, niin silloin kaikilla a K on f(a) = 0_K. Tämä on kuitenkin mahdotonta rengashomomorfismin postulaatin RH3 nojalla. Siis kuntahomomorfismin ydin on {0_K} ja täten sivun Rengashomomorfismin ydin ja kuva huomion mukaan kuntahomomorfismi on injektio.

Koska f : (K, +, ^. ) (K', +', ^. ') antaa surjektion f : (K, +, ^. ) (Im (f), +', ^. '), saadaan lauseen loppuosan väite.

Edellisen lauseen mukaan kunnan (K, +, ^. ) kaikki homomorfiset kuvat ovat isomorfisia tämän kunnan kanssa.

Linkit:
Kunta
Kokonaisalue
Ihanne
Renkaan yksikköryhmä
Rengashomomorfismin ydin ja kuva
Renkaiden homomorfialause