Sisällön pääryhmät Alkeisfunktiot Eksponenttifunktio [ 1 2 3 ] ESITIEDOT:  reaalifunktiot,  potenssi KATSO MYÖS:  logaritmifunktio

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Eksponenttifunktion y = e^kx merkitys sovelluksissa perustuu paljolti siihen, että se toteuttaa differentiaaliyhtälön

y' = ky.

Monia ilmiöitä voidaan nimittäin kuvata tämäntyyppisellä differentiaaliyhtälöllä. Differentiaaliyhtälöä sanotaan ilmiön matemaattiseksi malliksi.

Olkoon esimerkiksi p(t) funktio, joka esittää väestön suuruutta ajanhetkellä t. Voidaan ajatella, että väestön lisäys p lyhyellä aikavälillä t on suoraan verrannollinen olemassaolevan väestön määrään ja aikavälin pituuteen: p = kpt, missä k on positiivinen verrannollisuuskerroin. Jakamalla aikavälin pituudella t saadaan

= kp.

Koska p = p(t + t) - p(t), on vasen puoli väestön suuruutta ajanhetkellä t kuvaavan funktion p(t) erotusosamäärä, jolloin saadaan differentiaaliyhtälö

p'(t) = kp(t) eli p' = kp,

kun t 0. Tämä on differentiaaliyhtälö, jonka ratkaisuna on eksponenttifunktio p(t) = Ce^kt; tässä C on mikä tahansa vakio.

Eo. differentiaaliyhtälöä kutsutaan väestönkasvun eksponentiaaliseksi malliksi. Sellaisena se on luonnollisesti äärimmäisen yksinkertainen, koska esimerkiksi kuolleisuuteen ei ole kiinnitetty mitään huomiota, ei myöskään populaation kasvaessa yhä rajallisemmiksi muuttuviin ympäristöresursseihin kuten saatavilla olevaan ravintoon yms.

Samantyyppiseen malliin päästään tarkasteltaessa aineen radioaktiivista hajoamista. Hajoavien atomien määrä m on suoraan verrannollinen aineen määrään kyseisellä hetkellä m(t) ja tarkasteltavan aikavälin pituuteen t. Siis: m = -kmt. Miinusmerkki aiheutuu siitä, että m merkitsee aineen vähenemistä ja on siis negatiivinen; kerroin k oletetaan positiiviseksi.

Samaan tapaan kuin edellä tästä päädytään differentiaaliyhtälöön m' = -km, jonka ratkaisu on m = Ce^-kt. Tässä C on vakio, joka riippuu ainemäärästä tarkastelun alkuhetkellä. Verrannollisuuskerroin k on aineelle ominainen vakio (vastaten puoliintumisaikaa).

differentiaaliyhtälö  erotusosamäärä  derivaatta

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12