[#] Sisällön pääryhmät --> Yhtälöt ja epäyhtälöt --> Juuriyhtälöt [ 1 2 ]
ESITIEDOT: [#] yhtälöt, [#] juuret
KATSO MYÖS: [#] polynomiyhtälöt
[#] Kansisivu
[#] Sisältö
[#] Hakemisto

Esimerkki juuriyhtälön ratkaisusta

Esimerkkinä olkoon yhtälön

V~ -- x = V~ ------ x + 1 + V~ ------ x + 2

reaalisten juurten ratkaiseminen. Puolittainen neliöön korotus antaa

x = x + 1 + x + 2 + 2 V~ -------------- (x + 1)(x + 2).

Sieventämällä siten, että jäljellä oleva neliöjuuri jää yksinään toiselle puolelle, saadaan

-x - 3 = 2 V~ -------------- (x + 1)(x + 2).

Uuden neliöön korotuksen jälkeen ei juurta enää esiinny:

x2 + 9 + 6x = 4(x + 1)(x + 2)

ja on päädytty toisen asteen yhtälöön

3x2 + 6x - 1 = 0,

jonka juuret ovat x = -1 ± 2 3 V~ -- 3. Likiarvot ovat x1 ~~ 0.15470 ja x2 ~~ -2.15470.

Näistä jälkimmäinen ei kelpaa, koska ratkaisun tulee olla > 0; alkuperäisen yhtälön vasen puoli ei ole muuten reaalinen. Edellinen antaa yhtälön termeille likiarvot

V~ -- x ~~ 0.39332, V~ ------ x + 1 ~~ 1.07457, V~ ------ x + 2 ~~ 1.46789,

joten on ilmeistä, että myöskään x1 ei ole alkuperäisen yhtälön ratkaisu.

Yhtälöllä ei ole siten ratkaisuja lainkaan, mikä olisi ollut melko helposti nähtävissä jo alkuperäisestä yhtälöstäkin: Koska x < x + 1, on myös V~ - x < V~ ------ x + 1 ja sitäkin suuremmalla syyllä -- V~ x < V~ ------ x + 1 + V~ ------ x + 2. Sama tulos olisi ollut helposti nähtävissä piirtämällä yhtälön kummankin puolen kuvaajat. Saaduille likiarvoille pätee 0.39332 = -1.07457 + 1.46789, jolloin x1 on yhtälön V~ -- x = - V~ ------ x + 1 + V~ ------ x + 2 ratkaisu. Tämä on luonnollistakin, koska tästä yhtälöstä päädytään neliöön korotusten jälkeen juuri samaan toisen asteen yhtälöön kuin edellä.

  [#] sieventäminen (yhtälön)
 [#] neliöjuuri
 [#] yhtälö (toisen asteen)
 [#] kuvaaja

Kivelä, M niinkuin matematiikka, versio 1.12