Sisällön pääryhmät Yhtälöt ja epäyhtälöt Yhtälöt [ 1 2 3 ] ESITIEDOT: KATSO MYÖS:  polynomiyhtälöt,  juuriyhtälöt,  itseisarvoyhtälöt,  transkendenttiyhtälöt,  trigonometrian kaavat,  logaritmifunktio,  Newtonin iteraatio,  yhtälöryhmät

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Yhtälöiden sieventäminen tapahtuu siirtämällä termejä puolelta toiselle (jolloin termin merkki muuttuu) ja kertomalla tai jakamalla yhtälön molemmat puolet samalla luvulla tai lausekkeella. Jos lauseke on = 0 joillakin tuntemattoman arvoilla, näiden merkitys yhtälön ratkaisun kannalta on tutkittava erikseen.

Yhtälön molempiin puoliin voidaan kohdistaa myös sama funktio ja saadaan uusi yhtälö, jolla on ratkaisuina ainakin samat tuntemattoman arvot kuin alkuperäisellä yhtälöllä. Jos siis x₀ toteuttaa yhtälön f(x) = g(x), se toteuttaa myös yhtälön h(f(x)) = h(g(x)). Juuria voi kuitenkin tulla lisää. Esimerkiksi yhtälön = x - 2 ainoa juuri on x = 4, mutta jos yhtälön kumpikin puoli korotetaan neliöön (so. niihin kohdistetaan funktio h(u) = u²), saadaan x = x² - 4x + 4, jolla on kaksijuurta, x = 4 ja x = 1. Samoin: Yhtälön x = -x ainoa ratkaisu on x = 0, mutta yhtälön cos x = cos(-x) ratkaisuksi kelpaa mikä luku tahansa!

Jos funktio h on aidosti kasvava (tai aidosti vähenevä), ovat yhtälöt f(x) = g(x) ja h(f(x)) = h(g(x)) yhtäpitäviä, ts. niillä on samat juuret. Tämä seuraa siitä, että tällöin on myös olemassa käänteisfunktio h^-1 ja toiseen suuntaan siirtyminen on itse asiassa tämän kohdistamista jälkimmäisen yhtälön kumpaankin puoleen. Siten esimerkiksi yhtälöillä ln(x² + 1) = ln(x² + 2x + 2) ja x² + 1 = x² + 2x + 2 on samat juuret.

kosini  kasvava (funktio)  kasvava (funktio)  vähenevä (funktio)  vähenevä (funktio)  käänteisfunktio  käänteisfunktio  logaritmifunktio

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12