Sisällön pääryhmät Diskreettiä matematiikkaa Logiikka [ 1 2 3 4 5 ] ESITIEDOT: KATSO MYÖS:

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Propositioista p ja q voidaan johtaa uusia propositioita käyttämällä seuraavia loogisia operaattoreita eli konnektiiveja:

konjunktio:	p q	’p ja q’,
disjunktio:	p q	’p tai q’,
negaatio:	¬p	’ei p’,
implikaatio:	p q	’p:stä seuraa q’, ’jos p niin q’,
ekvivalenssi:	p q	’p ja q ovat yhtäpitäviä’,
		’p jos ja vain jos q’.

Näiden merkitys on pääosin luonnollisen logiikan mukainen. Täsmällinen merkitys ilmenee seuraavasta totuusarvotaulusta, missä loogisen operaattorin avulla saadun proposition totuusarvo on määritelty kaikkia propositioiden p ja q totuusarvoja vastaten (1 = tosi, 0 = epätosi).

p	q	¬p	p q	p q	p q	p q
1	1	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	0	0
0	1	1	0	1	1	0
0	0	1	0	0	1	1

Erityisesti on syytä huomata disjunktion merkitys: p q tarkoittaa siis ’p tai q tai molemmat’. Kyseessä on siten ns. ’ei-poissulkeva tai’. Luonnollisen logiikan kannalta ei myöskään liene itsestään selvää, että p q on tosi propositiosta q riippumatta, jos p on epätosi. Kyseessä onkin tarkoituksenmukaisuussyistä tehty määrittely; tavoitteena on toimiva kalkyyli.

Eo. määrittelyissä p ja q ovat atomipropositioita; konnektiivien avulla muodostetut ovat johdettuja propositioita. Mistä tahansa propositioista voidaan muodostaa uusia propositioita yhdistelemällä niitä konnektiivien avulla.

Jos johdettu propositio on tosi riippumatta sen atomipropositioiden totuusarvoista, sitä sanotaan tautologiaksi. Esimerkki seuraavassa.

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12