Sisällön pääryhmät Diskreettiä matematiikkaa Logiikka [ 1 2 3 4 5 ] ESITIEDOT: KATSO MYÖS:

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Muotoa ’x > 5’ tai ’x ja y ovat naimisissa’ olevat lausumat eivät ole propositioita, koska niiden totuusarvo riippuu siitä, mitä muuttujien x ja y paikalle sijoitetaan. Tällaisia vapaista muuttujista riippuvia lausumia kutsutaan predikaateiksi ja niitä merkitään funktioiden tapaan: p(x), m(x, y).

Kun muuttuja(t) sidotaan, esimerkiksi niille annetaan arvot jostakin perusjoukosta, predikaatit muuttuvat propositioiksi. Edellisen esimerkin tapauksessa luonnollinen perusjoukko on reaalilukujoukko ja asettamalla x = saadaan epätosi propositio > 5. Jälkimmäisessä esimerkissä muuttujan x luonnollinen perusjoukko muodostuu kaikista miehistä, muuttujan y kaikista naisista, jolloin esimerkiksi ’(tietty) Pekka ja (tietty) Maija ovat naimisissa’ on propositio, jonka totuusarvo on mahdollista selvittää.

Muuttujat voidaan sitoa myös kvanttoreilla, joista tärkeimmät ovat seuraavat:

kaikilla-kvanttori:	x p(x)	’kaikilla x on ominaisuus p(x)’,
on olemassa -kvanttori:	x p(x)	’on olemassa x, jolla
		on ominaisuus p(x)’.

Esimerkiksi sitomalla predikaatti |x| > 0 kaikilla-kvanttorilla (perusjoukkona reaaliluvut) saadaan propositio x (|x| > 0), joka on tosi.

Sitomalla predikaatti x² < 0 on olemassa -kvanttorilla (perusjoukkona reaaliluvut) saadaan epätosi propositio x (x² < 0). Jos perusjoukkona sen sijaan ovat kompleksiluvut, saadaan tosi propositio.

Jos predikaatissa on useampia muuttujia, nämä on kaikki sidottava. Esimerkiksi x y m(x, y) on epätosi, kun m(x, y) on predikaatti ’x ja y ovat naimisissa’.

Predikaateille voidaan muodostaa laskusääntöjä. Luonnollisen logiikan pohjalta esimerkiksi seuraavat ovat ilmeisiä:

	¬ x p(x) x ¬p(x),
	¬ x p(x) x ¬p(x),
	x [p(x) q(x)] [x p(x) x q(x)],
	x [p(x) q(x)] [x p(x) x q(x)].

funktio  itseisarvo (reaaliluvun)  reaaliluku  kompleksiluku

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12