Sisällön pääryhmät Diskreettiä matematiikkaa Logiikka [ 1 2 3 4 5 ] ESITIEDOT: KATSO MYÖS:

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Logiikkaa voidaan pitää matemaattisen päättelyn — lauseiden eli teoreemojen todistamisen — työkaluna. Yleensä matematiikassa ei kuitenkaan esitetä todistuksia formaalin logiikan muotoon puettuna, vaan pikemminkin sovelletaan luonnollista logiikkaa ja vain tarvittaessa turvaudutaan formaalin logiikan kalkyyliin. Syynä on tradition ohella todistusten luettavuus: tiukka formaalin logiikan käyttö johtaa raskaisiin ja vaikeaselkoisiin esityksiin.

Tietokoneiden tekoälysovelluksissa — joissa myös voidaan pyrkiä lauseiden todistamiseen — formaalin logiikan käyttö sen sijaan on välttämättömyys.

Matematiikka voidaan nähdä järjestelmänä, jonka pohjana ovat aksioomat, tosiksi sovitut lausumat. Näiden perusteella johdetaan ainakin periaatteessa logiikan keinoin joukko lauseita, jotka muodostavat tarkasteltavana olevan matemaattisen teorian. Jokainen lause todistetaan joko aiemmin todistettuihin lauseisiin tai suoraan aksioomiin vedoten.

Esimerkiksi reaalisten funktioiden jatkuvuusteorian pohjana voisivat olla aksioomat, jotka määrittelevät reaalilukujoukon. Näihin vedoten voidaan määritellä jatkuvuuden käsite ja logiikkaan pohjautuvalla päättelyketjulla todistaa vaikkapa Bolzanon lause: Jos jatkuva funktio saa suljetun välin päätepisteissä erimerkkiset arvot, sillä on ainakin yksi nollakohta tällä välillä.

Modernin geometrian pohjana eivät enää ole Eukleideen antiikin Kreikassa esittämät aksioomat vaan näiden modernimpi versio, jota yleensä kutsutaan Hilbertin aksioomiksi saksalaisen matemaatikon David Hilbertin (1862 – 1943) mukaan. Geometrioitakin on erilaisia; näitä vastaavat erilaiset aksioomajärjestelmät.

Sovellusten kannalta matemaattinen teoria on malli, joka jollakin tavoin kuvaa sovellusta, reaalimaailman ilmiötä. Malli ei ole sama asia kuin ilmiö vaan lähes aina yksinkertaistus, jonka pätevyydellä on rajoituksensa.

Periaatteessa voidaan ajatella, että kaikki matematiikka rakennetaan yhden aksioomasysteemin varaan ja tältä pohjalta johdetaan jokainen matemaattinen teoria määrittelemällä uusia käsitteitä ja todistamalla näitä koskevia lauseita. Näkemystä kutsutaan usein bourbakistiseksi 1930-luvulla syntyneen salanimeä Nicolas Bourbaki käyttäneen ranskalaisen matemaatikkoryhmän mukaan. Ryhmä on julkaissut joukko-opillisista perusteista lähtenyttä 20. vuosisadan matematiikan yleisesitystä, joka ei kuitenkaan ole saavuttanut alkuperäisiä tavoitteitaan.

Luontevampaa onkin nähdä aksiomaattisen menetelmän merkitys rajoitetummin: kullakin matematiikan osa-alueella on oma aksioomasysteeminsä, johon tulokset perustetaan. Silti hyvinkin erilaisilla alueilla on yllättäviäkin kosketuskohtia. Sovellusaloilla ei toisaalta välttämättä tarvitse olla edes kovin tietoinen aksiomaattisesta perustasta.

aksiooma  aksiooma  funktio (reaali-)  jatkuvuus  Bolzano  geometria  geometria  Eukleides  Hilbert  matemaattinen malli  matemaattinen malli  joukko-oppi

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12