Kompleksilukujen tulo ja potenssit

Olkoon annettuna kaksi kompleksilukua napakoordinaattimuodossa:

\text{[math]}

Lukujen itseisarvot ovat $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ , niiden napakulmat (argumentit) $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ .

Lukujen tulo saadaan sinin ja kosinin yhteenlaskukaavojen avulla muotoon

Vastaavaan tapaan saadaan luvun $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ käänteisluvulle

\text{[math]}

Kummassakin tapauksessa tulokset ovat napakoordinaattimuotoja. Lukujen tulon itseisarvo on siis $\text{[math]}$ ja napakulma $\text{[math]}$ . Käänteisluvun muodostuksessa itseisarvo muuttuu käänteisluvuksi ja napakulma vastaluvuksi. Siis:

\text{[math]}

Jos $\text{[math]}$ , luku voidaan kirjoittaa muotoon $\text{[math]}$ . Edellä esitetystä seuraa tällöin $\text{[math]}$ ja yleisemmin ns. de Moivren kaava

\text{[math]}

Tässä $\text{[math]}$ voi olla mikä tahansa kokonaisluku, mikä nähdään yhdistämällä edellä olevat tuloa ja käänteislukua koskevat tulokset.

Linkkejä

Kompleksiluvun napakoordinaattiesitys
Kiertotekijä
Kompleksiluvun juuret
Kompleksilukujen tulo (interaktiivinen dokumentti)

Simo K. Kivelä 26.04.2005