Epähomogeenisen yhtälön ratkaisujoukko

Kertalukua n oleva lineaarinen ja epähomogeeninen differentiaaliyhtälö on normaalimuodossa

y⁽ⁿ⁾ + P_n-1(x)y^(n-1) + . . . + P₁(x)y' + P₀(x)y = R(x).

Tämän yleinen ratkaisu voidaan suoraan kirjoittaa, jos tunnetaan vastaavan homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu, joka on muotoa

y_C = C₁y₁ + C₂y₂ + . . . + C_ny_n,

ja jokin — mikä tahansa — epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu y₀. Epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on nimittäin näiden summa:

y(x) = y_C(x) + y₀(x) = C₁y₁(x) + C₂y₂(x) + . . . + C_ny_n(x) + y₀(x).

Todistus on hyvin lyhyt, kun differentiaaliyhtälö kirjoitetaan operaattorimerkintää käyttäen: Ly = R.

Koska Ly_C = 0 ja Ly₀ = R, on edellä esitetty y = y_C + y₀ todellakin yhtälön ratkaisu:

Ly = L(y_C + y₀) = Ly_C + Ly₀ = 0 + R = R.

Jos toisaalta y₁ on jokin epähomogeenisen yhtälön ratkaisu, ts. Ly₁ = R, on y₁ - y₀ homogeeniyhtälön ratkaisu:

L(y₁ - y₀) = Ly₁ - Ly₀ = R - R = 0.

Tällöin on y₁ - y₀ = y_C, kun vakiot C_k ratkaisussa y_C valitaan sopivasti. Siis y₁ on muotoa y_C + y₀.