SKK    2.11.2001

Vakiokertoimiset lineaariset differentiaaliyhtälöt

Seuraavat linkit muodostavat tiivistelmän vakiokertoimisten lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta.

Linkkien takana olevat dokumentit ovat osa laajemmasta differentiaaliyhtälöitä käsittelevästä opiskelupaketista, DelTa-paketista. Tämän johdosta dokumenttien lopussa on linkkejä, jotka johtavat muualle pakettiin. Kiinnostunut henkilö voi tietenkin tutkia näitäkin, mutta vakiokertoimisten lineaariyhtälöiden oppimiseksi riittää käydä läpi tällä sivulla olevat linkit.

Muutama peruskäsite

• Mikä on differentiaaliyhtälö?
• Mikä on differentiaaliyhtälön kertaluku? Sivulla puhutaan myös normaalimuodosta, mutta tämä ei ole tässä yhteydessä kovinkaan tärkeää.
• Mitä tarkoitetaan yleisellä ratkaisulla ja yksittäisratkaisulla?
• Mikä on alkuehto?

Lineaarinen differentiaaliyhtälö

• Mikä on lineaarinen differentiaaliyhtälö? Tämä voi olla homogeeninen tai epähomogeeninen, kuten sivulta ilmenee.
• Miltä näyttää homogeenisen yhtälön ratkaisu?
• Esimerkki kolmannen kertaluvun homogeenisen yhtälön ratkaisusta. Esimerkistä kannattaa katsoa vain alkuosa lineaariseen riippumattomuuteen saakka.
• Miltä näyttää epähomogeenisen yhtälön ratkaisu?
• Miten ensimmäisen kertaluvun homogeenisen lineaariyhtälön voi ratkaista? Tarvittaessa voi olla hyvä katsoa, mitä tarkoittaa differentiaaliyhtälön ratkaiseminen separoimalla.
• Ensimmäisen kertaluvun epähomogeenisen lineaariyhtälön yleiseen ratkaisemiseen löytyy kyllä keinot, mutta ne eivät ole kovin käyttökelpoisia, jos keskitytään vakiokertoimisiin lineaariyhtälöihin. Helpommallakin nimittäin päästään.
• Korkeampien kertalukujen lineaariyhtälöiden yleinen ratkaiseminen on vaikeaa. Jos tässäkin rajoitutaan vakiokertoimisiin yhtälöihin, asiasta tulee helpompaa.

Vakiokertoiminen lineaarinen differentiaaliyhtälö

• Lineaarinen differentiaaliyhtälö on vakiokertoiminen, jos kaikkien derivaattojen kerroinfunktiot P_k(x) ovat vakioita.
• Miten vakiokertoimisen homogeenisen lineaariyhtälön voi ratkaista?
• Esimerkki edellisestä. Mieti, mitä ratkaisusta tulee, jos kyseessä olisi vain ensimmäisen kertaluvun yhtälö!
• Miten vakiokertoimisen epähomogeenisen lineaariyhtälön voi ratkaista?
• Esimerkki edellisestä.

Harjoitustehtäviä

Virtapiiriesimerkkejä

Seuraavissa esimerkeissä käsitellään yksinkertaisia virtapiiriongelmia laskentaohjelman, joko Mathematican tai Maplen avulla. Tarjolla on Mathematica- ja Maple-istunnoista HTML-muotoiset dokumentit suoraan selaimella luettaviksi. Jos käytettävissä on itse ohjelma, voidaan HTML-dokumentin vasemmassa ylänurkassa olevasta linkistä ladata myös ko. ohjelmalla käsiteltävä ja muunnettavissa oleva dokumentti (notebook tai worksheet).

Aluksi kuitenkin johdanto differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen

• Mathematicalla tai Maplella.

Virtapiiriesimerkkejä:

• Yksinkertainen virtapiiri: Mathematica tai Maple
• RCL-piiri, vapaa värähtely: Mathematica tai Maple
• RCL-piiri, pakotetu värähtely: Mathematica tai Maple