Sisällön pääryhmät Derivaatta Maksimit ja minimit [ 1 2 3 4 5 ] ESITIEDOT:  reaalifunktiot,  derivaatta KATSO MYÖS:  funktion jatkuvuus,  derivointisäännöt,  alkeisfunktioiden derivaatat

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Oletetaan seuraavassa, että funktio f on derivoituva ja että f'(x₀) = 0. Oletetaan lisäksi, että x₀ on derivaatan erillinen nollakohta, ts. pisteellä x₀ on ympäristö, jossa f'(x)0 (paitsi tietenkin keskipisteessä x₀).

Kohtaa x₀ ohitettaessa derivaatan merkki voi 1) muuttua positiivisesta negatiiviseksi, 2) negatiivisesta positiiviseksi, 3) jäädä muuttumatta.

Ensimmäisessä tapauksessa funktio muuttuu kasvavasta väheneväksi, jolloin kyseessä on maksimikohta; toisessa tapauksessa kyseessä on vastaavasti minimikohta. Jos merkki jää muuttumatta, on derivaatta samanmerkkinen pisteen x₀ kummallakin puolella. Jos se on positiivinen, on funktio kasvava pisteen kummallakin puolella; jos negatiivinen, niin funktio on vähenevä. Kummassakaan tapauksessa ei kyseessä voi olla ääriarvokohta.

Ääriarvon laatu voidaan tutkia myös toista derivaattaa käyttäen. Olkoon f'(x₀) = 0. Jos f''(x₀) < 0, niin ensimmäinen derivaatta on kohdassa x₀ vähenevä ja sen merkki siis muuttuu positiivisesta negatiiviseksi. Kyseessä on edellä olevan mukaan maksimi. Vastaavasti f''(x₀) > 0 merkitsee, että kyseessä on minimi.

Jos f'(x₀) = f''(x₀) = 0, ei ääriarvon laatua tai sen olemassaoloa voida ilman lisätietoja päätellä. Kaikki on mahdollista. Esimerkiksi funktioilla x⁴, -x⁴ ja x³ on sekä ensimmäinen että toinen derivaatta origossa = 0. Ensimmäisellä on origossa minimi, toisella maksimi, kolmannella origo ei ole ääriarvokohta.

derivaatta  derivoituvuus  kasvava (funktio)  kasvava (funktio)  vähenevä (funktio)  vähenevä (funktio)  derivaatta (toinen)

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12