Sisällön pääryhmät Derivaatta Derivaatta [ 1 2 3 4 5 6 ] ESITIEDOT:  reaalifunktiot,  funktion raja-arvo KATSO MYÖS:  derivointisäännöt,  alkeisfunktioiden derivaatat

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Derivaatta, so. erotusosamäärän raja-arvo ei välttämättä ole olemassa. Jos se on, funktiota sanotaan derivoituvaksi kyseisessä pisteessä x.

Esimerkkejä funktioista, jotka jossakin pisteessä eivät ole derivoituvia, ovat a) f(x) = |x| origossa ja b) f(x) = x sin(1/x) samoin origossa (missä määritellään f(0) = 0). Edellisen kuvaajalla on origossa kärki, jälkimmäisen käyttäytyminen on paljon monimutkaisempaa:

Funktion määritelmä on siinä määrin yleinen, että on helppoa muodostaa myös funktioita, jotka eivät ole missään derivoituvia tai ovat derivoituvia vain muutamissa pisteissä. Esimerkiksi määrittelemällä f(x) = x², jos x on rationaalinen, ja f(x) = -x², jos x on irrationaalinen, saadaan funktio, joka on derivoituva vain origossa.

raja-arvo (funktion)  kuvaaja  rationaaliluku  irrationaaliluku

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12