Ympyra ja sen yhtalo

Sisällön pääryhmät -->

Käyrät ja pinnat -->

Ympyrä [ 1 2 3 4 5 6 ]
ESITIEDOT: [#]

käyrä,

kulma,

piste,

suora
KATSO MYÖS: [#]

toisen asteen käyrät

Kansisivu

Sisältö

Hakemisto

Ympyrä ja sen yhtälö

Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen säde.

Nimitystä ympyrä käytetään toisinaan myös ympyräviivan sisään jäävästä tasoalueesta. Ympyräviivaa itseään kutsutaan tällöin usein ympyrän kehäksi.

Analyyttisessa geometriassa ympyrää (ympyräviivaa) käsitellään sen yhtälön avulla. Pythagoraan lauseen perusteella ympyrän pisteet (x, y) toteuttavat yhtälön

(x - a)² + (y - b)² = R²,

missä (a, b) on ympyrän keskipiste ja R sen säde. Suorittamalla neliöönkorotukset yhtälö saadaan muotoon x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - R² = 0. Kyseessä on siten eräs toisen asteen käyrä. Jos kääntäen on annettuna toisen asteen käyrän yhtälö, jossa neliötermien x² ja y² kertoimet ovat yhtä suuret eikä tulotermiä (xy-termiä) esiinny, voidaan neliöiksi täydentämällä tutkia, esittääkö tämä ympyrää. Menettely on seuraavan esimerkin mukainen:

Olkoon tarkasteltavana yhtälö 2x² + 2y² - x + 4y + c = 0, missä c on jokin vakio. Tämä voidaan aluksi saattaa muotoon

2(x² - x/2) + 2(y² + 2y) + c = 0.

Jotta sulkulausekkeet voitaisiin tulkita binomin neliöiksi binomikaavan mukaisesti, on niihin lisättävä sopivat neliötermit; jotta yhtälö säilyisi voimassa, on nämä termit toisaalla vähennettävä pois:

		2(x² - x/2 + 1/16) + 2(y² + 2y + 1) + c - 1/8 - 2 = 0 eli
		2(x - 1/4)² + 2(y + 1)² = 17/8 - c eli
		(x - 1/4)² + (y + 1)² = 17/16 - c/2.

Jos lauseke 17/16 - c/2 on positiivinen, se voidaan tulkita ympyrän säteen neliöksi ja kyseessä todella on ympyrä. Esimerkiksi arvolla c = -1 saadaan säteeksi R = 5/4 ja ympyrän keskipiste on (1/4, -1). Jos lauseke on = 0, kyseessä on piste; arvolla c = 17/8 yhtälö esittää siten pistettä (1/4, -1). Jos lauseke on negatiivinen, ei yhtälö voi toteutua millään arvoilla (x, y) eikä se siis esitä mitään käyrää.