Sisällön pääryhmät Potenssit ja polynomit Polynomit [ 1 2 3 4 ] ESITIEDOT:  summa ja tulo KATSO MYÖS:  potenssi,  polynomien tekijöihin jako,  polynomiyhtälöt,  binomi- ja multinomikertoimet,  reaalifunktiot

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Yhden muuttujan — tässä x — polynomiksi kutsutaan lauseketta

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ = a_kx^k.

Muuttujasta x esiintyy siis vain ei-negatiivisia kokonaislukupotensseja. Luvut a_k ovat polynomin kertoimet. Jos ne ovat kaikki reaalisia, puhutaan reaalikertoimisesta polynomista; jos joukossa on myös imaginaarilukuja, polynomi on kompleksikertoiminen. (Reaalikertoiminen polynomi on siis kompleksikertoimisen erikoistapaus, ts. vaikka kaikki kertoimet olisivatkin reaalisia, voidaan polynomia ajatella kompleksikertoimisena.)

Muuttujan korkein esiintyvä potenssi on polynomin asteluku. Eo. polynomin asteluku on siis n, jos a_n0.

Yksinkertaisia esimerkkejä muuttujan x polynomeista ovat x² + x + 1, xⁿ - aⁿ, 3. Näiden asteluvut ovat 2, n ja 0.

Puhutaan myös usean muuttujan polynomeista. Tällaisia ovat esimerkiksi

xⁿ - yⁿ, xy⁴ + x³y² + 2x² + 3x + y + 5 ja x²y³z⁴ + y⁵z⁶ + z⁷,

joissa muuttujia ovat x, y ja z.

Yhtä ainoata luonnollista tapaa järjestää usean muuttujan polynomin termit ei ole. Esimerkeistä keskimmäinen voidaan esittää mm. muodoissa

xy⁴ + x³y² + y + (2x² + 3x + 5) ja y²x³ + 2x² + (y⁴ + 3)x + (y + 5)

riippuen siitä kumman muuttujan mukaan potenssit ensisijaisesti järjestetään. Ensimmäinen esimerkki voidaan katsoa myös yhden muuttujan x polynomiksi, jos symbolin y katsotaan olevan vakio.

Polynomi, jossa on vain yksi termi, on monomi, esimerkiksi xyz. Kahden termin polynomi on binomi, kolmen termin trinomi; esimerkkejä ovat 2x + 19y⁷ ja x² + x + 1. Jos termejä on useampia, puhutaan multinomeista.

potenssi (kokonaisluku-)  reaaliluku  kompleksiluku  termi

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12