Perusidea ensimmäisen kertaluvun yhtälölle

Ensimmäisen kertaluvun alkuarvoprobleeman

y' = f(x, y),   y(x₀) = y₀

numeerisessa ratkaisemisessa tarkasteluvälille [x₀, x₀ + L] asetetaan jakopisteet x₀, x₁ , . . . , x_n , missä x_n = x₀ + L, ja pyritään laskemaan funktionarvoille y(x_k) approksimaatiot y_k.

Jakopisteet x_k ovat usein tasavälisiä, x_k+1 = x_k + h, mutta välttämätöntä tämä ei ole. Yleensä on L > 0, mutta voi myös olla L < 0, jolloin väli ulottuu alkuehtopisteestä x₀ taaksepäin. Tällöin on h < 0.

Approksimaatiot y_k voidaan laskea useilla erilaisilla menetelmillä. Nämä ovat iteratiivisia, ts. seuraava arvo y_k+1 lasketaan aiemmin laskettujen arvojen y₀, y₁, . . ., y_k avulla. Menetelmien perustana on yleensä jompikumpi seuraavista lähestymistavoista:

1) Oletetaan, että ratkaisufunktiolla y(x) on Taylorin kehitelmä jakopisteessä x_k :

y(xk + h)	= y(xk) + y'(xk)h + y''(xk)h2 + . . . + y(n)(xk)hn + O(hn+1)
	= y(xk) + + O(hn+1),

y'' (x) = f_x(x, y(x)) + f_y(x, y(x))y'(x) = f_x(x, y(x)) + f_y(x, y(x))f(x, y(x)),

ja sijoittamalla tähän x = x_k. Tässä f_x ja f_y tarkoittavat funktion f osittaisderivaattoja. Korkeammat derivaatat saadaan vastaavalla tavalla derivoimalla edellä saatua yhtälöä edelleen. Lausekkeet käyvät kuitenkin varsin mutkikkaiksi.

Kiinnittämällä Taylorin polynomin aste n, pudottamalla jäännöstermi pois ja käyttämällä funktionarvolle y(x_k) sille aiemmin laskettua approksimaatiota y_k saadaan menetelmä funktionarvon y(x_k+1) = y(x_k + h) approksimaation laskemiseen:

y(x_k+1) y_k+1 = y_k + g(x_k, y₀, y₁, . . . , y_k, h).

Tässä g(x_k , y₀, y₁, . . . , y_k, h) tarkoittaa joko edellä käsitellystä hakasulkulauseketta saatavaa termiä tai sille jollakin tavalla muodostettua, helpommin laskettavaa approksimaatiota. Approksimaatio voi perustua funktion f osittaisderivaattojen sijasta yhteen tai useampaan jo laskettuun arvoon y₀, y₁, . . . , y_k.

2) Integroimalla differentiaaliyhtälö y'(x) = f(x, y(x)) puolittain välin [x_k, x_k + h] yli saadaan

y(x_k + h) - y(x_k) = f(x, y(x)) dx.

Oikean puolen integraalia ei kuitenkaan voida laskea, koska funktiota y(x) ei tunneta.

Approksimoimalla funktiota f(x, y(x)) jollakin tavoin välillä [x_k, x_k + h], voidaan integraalille laskea likimääräisarvio I(x_k, y₀, y₁, . . . , y_k, h). Tämän perustana voidaan käyttää yhtä tai useampaa jo lasketuista arvoista y₀, y₁, . . . , y_k. Vastaavasti kuin edellä saadaan menetelmä funktionarvon y(x_k+1) = y(x_k + h) approksimoimiseen:

y(x_k+1) y_k+1 = y_k + I(x_k, y₀, y₁, . . . , y_k, h).

Yksinkertaisia esimerkkejä em. ideoista ovat Eulerin menetelmä ja parannettu Eulerin menetelmä. Ne ovat kuitenkin liian epätarkkoja todellisissa ongelmissa. Käyttökelpoisia menetelmiä ovat esimerkiksi edelliseen lähestymistapaan perustuva Rungen – Kuttan menetelmä ja jälkimmäiseen perustuva Adamsin – Bashforthin menetelmä.