Sisällön pääryhmät Integraali Hitausmomentti [ 1 2 ] ESITIEDOT:  määrätty integraali KATSO MYÖS:  integroimistekniikkaa,  massakeskipiste

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Massapisteen — massana m — fysikaalinen hitausmomentti kiertoakselin suhteen on J = mr², missä r on kohtisuora etäisyys akselista.

Jos kyseessä on kappale, saadaan sen hitausmomentti lasketuksi käyttämällä samaa ideaa kuin massakeskipisteen laskemisessa:

Kappale jaetaan pieniin osiin, esimerkiksi pikku kuutioihin koordinaattitasojen suuntaisilla tasoilla. Muunkinlaista jakoa ’pistemäisiin’ osiin voidaan käyttää. Jokaista osaa kohdellaan omana massapisteenään ja lasketaan näiden hitausmomentit yhteen:

r m_k,

missä m_k on k:nnen pikku kuution massa ja r_k sen etäisyys kiertoakselista.

Tämä on Riemannin summa, joka kuutioita pienennettäessä lähestyy määrättyä integraalia. Yleensä kyseessä on kolmiulotteisen avaruuden integraali, mutta erikoistapauksissa se on palautettavissa yhden muuttujan integraaliksi, kuten edempänä esimerkissä osoitetaan. Integraalia kutsutaan kappaleen (fysikaaliseksi) hitausmomentiksi.

Jos kappale on homogeeninen, ts. sen massatiheys on vakio, on m_k = v_k, missä v_k on pikku kuution tilavuus. Tällöin voidaan ottaa eo. summassa tekijäksi. Jäljelle jäävä summa

r v_k

riippuu vain kappaleen geometriasta ja valitusta akselisuorasta. Vastaava integraali on kappaleen matemaattinen hitausmomentti eli toinen momentti akselisuoran suhteen. Matemaattinen hitausmomentti saadaan siis fysikaalisesta asettamalla massatiheydeksi vakio = 1.

massakeskipiste  Riemannin summa  määrätty integraali

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12