Sisällön pääryhmät Integraali Integroimistekniikkaa [ 1 2 3 4 5 ] ESITIEDOT:  integraalifunktio,  määrätty integraali,  derivointisäännöt KATSO MYÖS:

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Annetun funktion integraalifunktiota laskettaessa funktiota pyritään muuntamaan siten, että tulos voidaan tunnistaa jonkin alkeisfunktion derivaataksi. Usein muuntaminen joudutaan tekemään useassa vaiheessa.

Tärkein menettely on sopivan sijoituksen tekeminen integraaliin. Kyseessä voi olla integraalifunktion etsiminen, jolloin integroimismuuttuja vaihdetaan toiseksi, tai määrätyn integraalin laskeminen, jolloin lisäksi muunnetaan rajat. Menettely pohjautuu yhdistetyn funktion derivoimissääntöön. Sijoitusmenettely on seuraava:

Olkoon laskettavana integraali f(x) dx tai f(x) dx.

Valitaan uusi muuttuja t, jota sitoo vanhaan muuttujaan x yhtälö x = g(t). Tässä funktio g valitaan päämääränä saada integraali yksinkertaistumaan. Derivoimalla saadaan

= g'(t) eli dx = g'(t) dt,

missä derivaattasymbolia on käsitelty ikäänkuin se olisi osamäärä. Jos kyseessä on määrätty integraali, ratkaistaan lisäksi muuttujalle t rajat ja yhtälöistä a = g() ja b = g().

Sijoitetaan tulokset integraaliin:

f(x) dx = f(g(t))g'(t) dt tai f(x) dx = f(g(t))g'(t) dt.

Sijoitus voidaan aivan yhtä hyvin tehdä uuden muuttujan t suhteen ratkaistuista muodoista, mikäli tämä on helpompaa: t = h(x), dt = h'(x) dx, = h(a), = h(b).

integraalifunktio  derivointi (alkeisfunktioiden)  määrätty integraali  derivaatta (yhdistetyn funktion)  yhtälö

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12