Sisällön pääryhmät Integraali Hitausmomentti [ 1 2 ] ESITIEDOT:  määrätty integraali KATSO MYÖS:  integroimistekniikkaa,  massakeskipiste

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Lasketaan R-säteisen pallon hitausmomentti keskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen, kun massatiheys on vakio = 1.

Sijaitkoon kolmiulotteinen xyz-koordinaatisto siten, että origo on pallon keskipisteessä. Kiertoakseli olkoon z-akseli. Pallo jaetaan edellä kuvatulla tavalla pikku osiin ja näistä kerätään yhteen ne, joilla on sama etäisyys kiertoakselista. Yhteen kuuluvat osat muodostavat lieriökuoria akselina z-akseli. Jos etäisyys akselista on r, on lieriön korkeus Pythagoraan mukaan 2 ja pohjan säde luonnollisesti r. Jos lieriökuoren paksuus on r, on kuoren tilavuus (eli massa, koska = 1) likimain 2r 2 r.

Jakamalla pallo n lieriökuoreen, muodostamalla jokaisen hitausmomentti ja laskemalla yhteen saadaan Riemannin summa, joka approksimoi pallon hitausmomenttia:

r ^. 2r_k 2 r_k.

Jakoa tihennettäessä, so. kuoria ohennettaessa, jolloin niiden lukumäärä kasvaa, tämä lähestyy integraalia

J = 4r³ dr,

mikä siis antaa pallon hitausmomentin.

Integraali voidaan laskea tekemällä sijoitus t = , jolloin dt = - dr ja uudet rajat ovat t = R, t = 0. Integraali saa seuraavan muodon ja voidaan laskea:

J = 4 - (R² - t²)t² dt = -4 = R⁵.

Hitausmomentti lausutaan yleensä kappaleen kokonaismassan avulla. Koska massatiheys = 1, on kokonaismassa sama kuin tilavuus: m = R³. Tällöin pallon hitausmomentti voidaan kirjoittaa

J = mR².

Tämä vastaa tilannetta, jossa pallon massa on keskittynyt yhteen pisteeseen etäisyydelle R. Tätä etäisyyttä sanotaan pallon hitaussäteeksi.

pallo  koordinaatisto (xyz-)  lieriö  Pythagoraan lause  pohja (lieriön)  Riemannin summa  määrätty integraali  integrointi (sijoitus)  pallo (tilavuus)

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12