![]() ![]() ![]() ESITIEDOT: ![]() ![]() KATSO MYÖS: ![]() ![]() |
|
Kappaleen massakeskipiste eli painopiste kuvaa massan keskimääräistä sijaintia. Jos kappale ripustetaan massakeskipisteestä, se pysyy millään tavoin kiertymättä siinä asennossa, johon se asetetaan. Kappaleeseen vaikuttavan painovoiman momentti tämän pisteen suhteen on siis = 0.
Massakeskipisteen koordinaatit voidaan laskea massajakaumalla painotettuina keskiarvoina. Tämä tarkoittaa seuraavaa:
Jaetaan kappale pieniin osiin, esimerkiksi pikku kuutioihin, joiden särmät
ovat kolmiulotteisen xyz-koordinaatiston akselien suuntaiset. Merkitään
k:nnessa pikku kuutiossa olevaa massaa mk ja sen sijaintia, esimerkiksi
keskipisteen koordinaatteja (xk, yk, zk). Keskipisteiden x-koordinaattien keskiarvo
massajakaumalla painotettuna on
=
xk
mk,
missä m = mk on kappaleen kokonaismassa.
Kyseessä on eräänlainen Riemannin summa, joka pikku kuutioiden muodostamaa jakoa tihennettäessä johtaa integraaliin. Yleisessä tapauksessa kyseessä on integraali kolmiulotteisen avaruuden alueen, nimittäin kyseessä olevan kappaleen yli. Erikoistapauksissa se on kuitenkin pelkistettävissä reaaliakselin suljetun välin yli otetuksi integraaliksi, kuten myöhempänä oleva esimerkki osoittaa. Integraali antaa massakeskipisteen x-koordinaatin X0.
Vastaavalla tavalla saadaan massakeskipisteen y- ja z-koordinaatit Y0 ja Z0.
Jos kappaleen massatiheys on vakio (yksikkönä kg/m3), on
mk =
vk ja
m =
v, missä
vk tarkoittaa pikku kuution ja v koko kappaleen tilavuutta.
Em. x-koordinaatin lausekkeessa voidaan sekä osoittajassa että nimittäjässä ottaa
tällöin
tekijäksi ja supistaa pois. Tuloksena saadaan yksinomaan kappaleen
geometrisista ominaisuuksista (koko, muoto) riippuva lauseke
xk
vk,
joka myös antaa määrätyn integraalin jakoa tihennettäessä. Tulosta kutsutaan kappaleen geometrisen keskipisteen eli keskiön x-koordinaatiksi. Se on laskettavissa mahdollisista massajakaumista riippumatta.
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12