Sisällön pääryhmät Integraali Massakeskipiste [ 1 2 ] ESITIEDOT:  keskiarvo,  määrätty integraali KATSO MYÖS:  integroimistekniikkaa,  hitausmomentti

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Kappaleen massakeskipiste eli painopiste kuvaa massan keskimääräistä sijaintia. Jos kappale ripustetaan massakeskipisteestä, se pysyy millään tavoin kiertymättä siinä asennossa, johon se asetetaan. Kappaleeseen vaikuttavan painovoiman momentti tämän pisteen suhteen on siis = 0.

Massakeskipisteen koordinaatit voidaan laskea massajakaumalla painotettuina keskiarvoina. Tämä tarkoittaa seuraavaa:

Jaetaan kappale pieniin osiin, esimerkiksi pikku kuutioihin, joiden särmät ovat kolmiulotteisen xyz-koordinaatiston akselien suuntaiset. Merkitään k:nnessa pikku kuutiossa olevaa massaa m_k ja sen sijaintia, esimerkiksi keskipisteen koordinaatteja (x_k, y_k, z_k). Keskipisteiden x-koordinaattien keskiarvo massajakaumalla painotettuna on

= x_km_k,

missä m = m_k on kappaleen kokonaismassa.

Kyseessä on eräänlainen Riemannin summa, joka pikku kuutioiden muodostamaa jakoa tihennettäessä johtaa integraaliin. Yleisessä tapauksessa kyseessä on integraali kolmiulotteisen avaruuden alueen, nimittäin kyseessä olevan kappaleen yli. Erikoistapauksissa se on kuitenkin pelkistettävissä reaaliakselin suljetun välin yli otetuksi integraaliksi, kuten myöhempänä oleva esimerkki osoittaa. Integraali antaa massakeskipisteen x-koordinaatin X₀.

Vastaavalla tavalla saadaan massakeskipisteen y- ja z-koordinaatit Y₀ ja Z₀.

Jos kappaleen massatiheys on vakio (yksikkönä kg/m³), on m_k = v_k ja m = v, missä v_k tarkoittaa pikku kuution ja v koko kappaleen tilavuutta. Em. x-koordinaatin lausekkeessa voidaan sekä osoittajassa että nimittäjässä ottaa tällöin tekijäksi ja supistaa pois. Tuloksena saadaan yksinomaan kappaleen geometrisista ominaisuuksista (koko, muoto) riippuva lauseke

x_kv_k,

joka myös antaa määrätyn integraalin jakoa tihennettäessä. Tulosta kutsutaan kappaleen geometrisen keskipisteen eli keskiön x-koordinaatiksi. Se on laskettavissa mahdollisista massajakaumista riippumatta.

keskiarvo (painotettu)  koordinaatisto (xyz-)  Riemannin summa  määrätty integraali  suljettu väli

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12