Sisällön pääryhmät Yhtälöt ja epäyhtälöt Itseisarvoyhtälöt [ 1 2 3 4 ] ESITIEDOT:  yhtälöt KATSO MYÖS:  polynomiyhtälöt

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Itseisarvoyhtälöksi kutsutaan yhtälöä, joka sisältää reaalilukujen itseisarvolausekkeita. Tarkastelu rajoittuu siis reaalisiin yhtälöihin ja näiden reaalisten ratkaisujen etsimiseen.

Lähestymistapoja on periaatteessa kaksi:

1) Reaalilukujoukko, josta ratkaisuja etsitään, jaetaan osiin sen mukaisesti, että jokaisesta itseisarvolausekkeesta kussakin osa-alueessa tiedetään merkki. Tällöin saadaan itseisarvomerkit poistetuiksi ja joudutaan ratkaisemaan tavallinen yhtälö erikseen jokaisessa osa-alueessa. Esimerkiksi jos yhtälössä esiintyy lauseke |x + 3|, tarvitaan kaksi osa-aluetta, joissa itseisarvot poistuvat seuraavasti:

2) Korotetaan yhtälö sopivasti toiseen potenssiin tavoitteena saada itseisarvolausekkeet poistetuiksi: onhan esimerkiksi |x + 3|² = (x + 3)². Uudella yhtälöllä on ainakin samat juuret kuin vanhalla, mutta sillä saattaa olla muitakin. Ks. yhtälöiden sieventäminen. Kummallakin menettelyllä on haittansa. Edellisessä joudutaan ratkaisemaan useita yhtälöitä, yksi jokaista osa-aluetta kohden. Lisäksi osa-alueiden määrittäminen johtaa ainakin periaatteessa epäyhtälöiden ratkaisemiseen (esimerkissä x + 3 > 0). Jälkimmäisessä neliöön korottaminen johtaa alkuperäistä korkeampiasteiseen yhtälöön, jonka ratkaiseminen saattaa olla hankalaa. Lisäksi on tutkittava, ovatko saadut juuret todella myös alkuperäisen yhtälön juuria.

yhtälö  itseisarvo (reaaliluvun)  potenssi (kokonaisluku-)  sieventäminen (yhtälön)  epäyhtälö

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12