Sisällön pääryhmät Lukujonon ja funktion raja-arvo Lukujonot [ 1 2 3 ] ESITIEDOT:  funktiokäsite KATSO MYÖS:  summa ja tulo,  lukujonon raja-arvo,  sarjat

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Lukujonoa sanotaan aritmeettiseksi, jos jonon kahden peräkkäisen luvun erotus on vakio:

a₁ annettu, a_k+1 = a_k + d,  k = 1, 2, 3, ... .

Eksplisiittisessä muodossa tämä on a_k = a₁ + (k - 1)d, k = 1, 2, 3, ... .

Jono on geometrinen, jos kahden peräkkäisen luvun suhde on vakio:

b₁ annettu, b_k+1 = qb_k,  k = 1, 2, 3, ... ,

tai eksplisiittisesti b_k = q^k-1b₁, k = 1, 2, 3, ... .

Sekä aritmeettisen että geometrisen jonon tapauksessa voidaan johtaa lauseke jonon n ensimmäisen luvun summalle. Aritmeettinen summa, so. aritmeettisen jonon n ensimmäisen termin summa, on ensimmäisen ja viimeisen termin keskiarvo kerrottuna termien lukumäärällä:

s_n = a_k = n.

Geometrinen summa eli geometrisen jonon n ensimmäisen termin summa on hieman vaikeammin miellettävissä:

t_n = b_k = b₁, q1.

Osoittajassa esintyy siis suhdeluku q korotettuna termien lukumäärän mukaiseen potenssiin. Poikkeuksena on tapaus q = 1, jolloin geometrisen jonon termit ovat kaikki yhtä suuria ja siis t_n = nb₁.

Aritmeettinen ja geometrinen summa antavat itse asiassa uudet lukujonot: s₁,  s₂,  s₃,  ... ja t₁,  t₂,  t₃,  ... . Myös s₁ ja t₁ ovat määriteltyjä edellä olevien lausekkeiden avulla: Tällöin on ajateltava, että merkintä s₁ = a_k tarkoittaa summaa, joka ei oikeastaan summa olekaan, koska siinä on vain yksi termi, a₁; vastaavasti t₁ = b_k.

summa  summamerkintä

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12