[#] Sisällön pääryhmät --> Kulma, kolmio, monikulmio ja -tahokas --> Monikulmiot [ 1 2 3 4 5 ]
ESITIEDOT: [#] kolmio
KATSO MYÖS: [#] geometriset probleemat
[#] Kansisivu
[#] Sisältö
[#] Hakemisto


Säännöllisten monikulmioiden laskemisesta

Säännöllisten monikulmioiden sivujen pituuksia voidaan usein laskea algebrallisen geometrian keinoin. Toisaalta myös kompleksilukuaritmetiikkaa voidaan hyödyntää.

Jos säännöllinen n-kulmio sijoitetaan siten, että sen keskipiste on origossa ja kärjet R-säteisellä origokeskisellä ympyrällä, saadaan kärkien koordinaatit kompleksilukuina helposti muodossa Ruk, missä u = cos(2p/n) + i sin(2p/n) on kompleksinen kiertotekijä. Indeksin k eri arvot antavat eri kärjet; k = 0, 1, 2, ..., n - 1. Menettely on luonteeltaan numeerinen, koska sinin ja kosinin tarkkojen arvojen laskeminen ei yleensä ole helppoa.

Esimerkkinä algebrallisten menetelmien käytöstä olkoon säännöllisen kymmenkulmion sivun pituuden x määrittäminen, kun kulmio on piirretty R-säteisen ympyrän sisään.

Yhdistämällä ympyrän keskipiste kahteen peräkkäiseen kymmenkulmion kärkeen saadaan tasakylkinen kolmio, jonka kulmat ovat 36o, 72o ja 72o. Puolittamalla toinen kantakulma saadaan seuraava kuvio:

Kolmiot KAB ja ABC ovat yhdenmuotoiset, koska kummassakin on kulmat 36o ja 72o. Kolmiot ACK ja BAC ovat tasakylkisiä ja siis |AB| = |AC| = |CK| = x. Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinsivut ovat verrannollisia, jolloin

|KA--|
|AB  | = |AB-|
|BC  | eli R-
x = --x---
R -  x.

Tästä seuraa

x = 1
2( V~ -
 5 - 1)R.

(Vrt. kultaiseen leikkaukseen.)

  [#] kompleksiluku
[#] sini
[#] kosini
[#] kiertotekijä
[#] tasakylkinen
[#] kulma (taso-)
[#] yhdenmuotoisuus (kolmioiden)
[#] kultainen leikkaus

Kivelä, M niinkuin matematiikka, versio 1.12