Sisällön pääryhmät Geometriset probleemat Geometriset probleemat [ 1 2 ] ESITIEDOT: KATSO MYÖS:  geometria,  synteettistä geometriaa,  analyyttista geometriaa,  vektorigeometriaa,  algebralliset menetelmät geometriassa

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Geometriset probleemat muodostuvat seuraavista päätyypeistä:

• On todistettava jotakin. Esimerkiksi on osoitettava, että minkä tahansa kolmion keskijanat leikkaavat toisensa samassa pisteessä, joka jakaa keskijanat suhteessa 1 : 2 ; tai on osoitettava, että säännöllisiä monitahokkaita on vain viisi.
• On konstruoitava jotakin. Sallitut geometriset välineet ovat tällöin perinteisesti viivoitin ja harppi. Esimerkiksi on etsittävä ne tason pisteet, joista annettu jana näkyy annetun kulman suuruisessa kulmassa; tai on piirrettävä ympyrä, joka kulkee kolmen annetun pisteen kautta.
• On laskettava jotakin. Esimerkiksi on laskettava pallon säteen ja pallon sisään asetetun säännöllisen tetraedrin särmän pituuden suhde; tai on laskettava kolmion kulmat, kun sivujen pituudet tunnetaan.

Pelkästään harpin avulla tapahtuvaa konstruktiotehtävien ratkaisemista on myös tutkittu. Itse asiassa viivoitin onkin tarpeeton väline: Kaikki mikä voidaan konstruoida harpilla ja viivoittimella, voidaan konstruoida myös yksinomaan harpilla. Tällöin ei luonnollisestikaan voida piirtää suoria, vaan suora katsotaan tunnetuksi, kun sen kaksi pistettä tiedetään.

Mielivaltaisen kulman jakoa kolmeen yhtä suureen osaan ei voida konstruoida harpilla ja viivoittimella; asian on 1500-luvun lopulla todistanut Franciscus Vieta. Jos välineistöä sen sijaan täydennetään sopivalla käyrällä, esimerkiksi tasasivuisella hyperbelillä, jako tulee mahdolliseksi.

Vieta  hyperbeli (xy-koordinaateissa)

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12