Sisällön pääryhmät Yhtälöt ja epäyhtälöt Polynomiyhtälöt [ 1 2 3 ] ESITIEDOT:  yhtälöt,  polynomit,  juuret KATSO MYÖS:  Newtonin iteraatio,  polynomien tekijöihin jako,  kompleksiluvut

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Toista astetta korkeampien asteiden yhtälöiden ratkaiseminen on oleellisesti vaikeampaa. Kolmannen ja neljännen asteen yhtälölle on olemassa ratkaisukaavat ns. Cardanon kaavat (italialaisen Geronimo Cardanon julkaisemat vuonna 1545, mutta eivät hänen itsensä keksimät; kolmannen asteen kaavan on jo aiemmin tuntenut ainakin Niccolo Tartaglia, neljännen asteen on löytänyt Ludovico Ferrari). Nämä ovat kuitenkin siinä määrin mutkikkaat, että niitä harvoin todella käytetään.

Viidennen ja sitä korkeampien asteiden yhtälöille ei yleisiä ratkaisukaavoja juurilausekkeiden avulla esitettyinä ole. Tuloksen ovat toisistaan riippumatta todistaneet norjalainen matemaatikko Niels Henrik Abel (1824) ja italialainen fyysikko Paolo Ruffini (1813).

Korkea-asteiset polynomiyhtälöt ratkaistaankin useimmiten numeerisesti Newtonin iteraatiolla tai jollakin sen muunnelmalla, jolloin täytyy tuntea approksimaatio juurelle ja laskennan tuloksena saadaan vain tämä juuri. Muunkintyyppisiä numeerisia menetelmiä on olemassa. Newtonin iteraatio saattaa jo kolmannen asteen tapauksessa olla Cardanon kaavoja tehokkaampi.

asteluku  Cardano  Tartaglia  Abel  Newtonin iteraatio

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12