Sisällön pääryhmät Derivaatta Newtonin iteraatio [ 1 2 3 4 ] ESITIEDOT:  yhtälöt,  lukujonon raja-arvo,  derivaatta KATSO MYÖS:  polynomiyhtälöt,  transkendenttiyhtälöt

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Muotoon f(x) = 0 saatettu yhtälö voidaan usein ratkaista numeerisesti Newtonin iteraatioksi kutsutulla menettelyllä. Edellytyksenä on, että etsittävän juuren ympäristössä funktio on kahdesti derivoituva (ts. ensimmäinen ja toinen derivaatta ovat olemassa) ja f'(x)0. Juurelle tulee tuntea myös riittävän tarkka approksimaatio, ns. iteraation lähtöarvo.

Menettelyssä muodostetaan lukujono, jonka ensimmäinen luku on lähtöarvo ja jossa seuraava luku aina lasketaan edellisen perusteella. Jono suppenee kohden juurta ja tälle voidaan laskea niin tarkka likiarvo kuin halutaan muodostamalla jonon lukuja riittävän pitkälle.

Newtonin iteraatiolla saadaan vain yksi juuri kerrallaan. Jos yhtälöllä on useampia juuria, on vaihdettava lähtöarvoa ja laskettava uudelleen. Syntyvä lukujono ei välttämättä suppene kohden lähintä juurta. Itse asiassa se ei välttämättä suppene lainkaan. Mikäli kuitenkin aloitetaan riittävän läheltä juurta, saadaan yleensä tätä juurta kohden suppeneva jono. ’Riittävän läheltä’ riippuu siitä, millainen funktio f on.

Nimitys ’iteraatio’ tarkoittaa toistamiseen perustuvaa menettelyä. Newtonin iteraatiossa toistetaan samaa laskenta-askelta: muodostettavan lukujonon seuraava termi lasketaan aina edellisen avulla. Menettelyn on esittänyt Isaac Newton vuoden 1670 tienoilla. Se tunnetaan myös Newtonin–Raphsonin menetelmänä.

yhtälö  juuri (yhtälön)  derivaatta  derivaatta (toinen)  lukujono  rekursiivisesti määritelty lukujono  suppeneminen (lukujonon)  Newton

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12