Sisällön pääryhmät Yhtälöt ja epäyhtälöt Polynomiyhtälöt [ 1 2 3 ] ESITIEDOT:  yhtälöt,  polynomit,  juuret KATSO MYÖS:  Newtonin iteraatio,  polynomien tekijöihin jako,  kompleksiluvut

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Algebran peruslauseen mukaan jokaisella reaali- tai kompleksikertoimisella polynomiyhtälöllä (jonka asteluku on > 1) on ainakin yksi (reaalinen tai kompleksinen) juuri. Tuloksen todisti matemaatikkojen kuninkaaksi kutsuttu saksalainen Carl Friedrich Gauss väitöskirjassaan 1799.

Lauseen seurauksena saadaan suhteellisen helposti astetta n olevalle polynomille p(x) esitys

p(x) = a_n(x - x₁)(x - x₂)...(x - x_n),

missä a_n on polynomin korkeimman asteen termin kerroin. Reaali- tai kompleksiluvut x₁,  x₂,  ...,  x_n ovat ilmeisestikin polynomin nollakohdat, ts. polynomiyhtälön p(x) = 0 juuret. Näiden ei kuitenkaan tarvitse olla eri suuria. Eo. tekijöihinjaon mielessä astetta n olevalla polynomilla on siis aina n juurta, mutta jotkut näistä voivat olla yhtä suuria.

Jos polynomi on reaalikertoiminen ja paritonta astetta, ainakin yksi juurista on reaalinen. Reaalikertoimisella polynomilla kompleksijuuria on parillinen määrä; nämä muodostavat kompleksiset liittolukuparit. Vrt. polynomin tekijöihin jakoon. Polynomin tekijäesitys antaa mahdollisuuden polynomiyhtälön redusointiin alhaisempaan astelukuun, jos yksi juuri pystytään jotenkin löytämään:

Jos x₁ on astetta n olevan polynomiyhtälön p(x) = 0 juuri, voidaan suorittaa jakolasku p(x)/(x - x₁), joka menee tasan. Osamäärä on polynomi, jonka asteluku on n - 1 ja jolla on samat nollakohdat kuin alkuperäisellä polynomilla p(x) lukuunottamatta jo löydettyä nollakohtaa x₁. Yhden juuren löytäminen yksinkertaistaa siis muiden etsimistä.

Esimerkiksi polynomiyhtälöstä x⁴ - 10x³ + 35x² - 50x + 24 = 0 nähdään melko helposti, että yhtenä juurena on x₁ = 1. Jaettaessa polynomi tekijällä x - 1 menee jako tasan, jolloin voidaan kirjoittaa

x⁴ - 10x³ + 35x² - 50x + 24 = (x - 1)(x³ - 9x² + 26x - 24) = 0.

Polynomiyhtälön muiden juurten etsimistä voidaan siis jatkaa tarkastelemalla yhtälöä x³ - 9x² + 26x - 24 = 0.

Menettely edellyttää yhden juuren arvaamista. Tällöin on usein apua tiedosta, että jos polynomin korkeimman asteen termin kerroin on = 1, niin vakiotermi on juurten tulo tai sen vastaluku.

asteluku  Gauss  polynomi  kompleksiluku  liittoluku  tekijöihin jako (luvun)  tekijöihin jako (polynomin)  tekijöihin jako (polynomin)  tekijöihin jako (polynomin)  jakolasku (polynomien)  polynomi (nollakohdat ja kertoimet)

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12