[#] Sisällön pääryhmät --> Alkeisfunktiot --> Arcus-funktiot [ 1 2 3 ]
ESITIEDOT: [#] reaalifunktiot, [#] trigonometriset funktiot
KATSO MYÖS: [#] trigonometrian kaavat
[#] Kansisivu
[#] Sisältö
[#] Hakemisto

Arcus-funktioita koskevia kaavoja

Seuraavassa käsitellään vain arcus-funktioiden päähaaroja.

Käänteisfunktion yleisten ominaisuuksien mukaan on

sin(arcsin y) = y, arcsin(sin x) = x;
cos(arccos y) = y, arccos(cos x) = x;
tan(arctan y) = y, arctan(tan x) = x;
cot(arccot y) = y, arccot(cot x) = x.

Tämä edellyttää, että muuttuja x tai y on ao. funktion määrittelyjoukossa siten kuin edellä on esitetty.

Vasemmanpuoliset kaavat ovat sikäli ongelmattomampia, että jos muuttuja y yleensä sijaitsee siten, että arcus-funktio on määritelty, niin kaava on oikea. Oikeanpuolisissa kaavoissa muuttujan x on oltava rajoitetussa määrittelyjoukossa eli päähaara-alueella — siis esimerkiksi sinin tapauksessa välillä [-p/2,  p/2] — jotta kaava olisi voimassa.

Esimerkiksi arcsin(sin(p/6)) = p/6, mutta jos x = 5p/6, onkin laskettava seuraavasti:

arcsin(sin(5p/6)) = arcsin(sin(p - 5p/6)) = arcsin(sin(p/6)) = p/6.

Tässä on käytetty hyväksi sinin symmetriaa: sin x = sin(p - x). Yhdistämällä arcus-funktioita sopivasti saadaan funktioita, joiden kuvaajat saattavat näyttää hieman yllättäviltäkin. Esimerkiksi:

f(x) = arccos(sin x), g(x) = arctan x + arctan 1---x- 1 + x.

  [#] käänteisfunktio
 [#] käänteisfunktio
 [#] määrittelyjoukko
 [#] trigonometrinen funktio (symmetria)

Kivelä, M niinkuin matematiikka, versio 1.12