Sisällön pääryhmät Derivaatta Derivointisäännöt [ 1 2 3 4 ] ESITIEDOT:  derivaatta KATSO MYÖS:  alkeisfunktioiden derivaatat

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Jos funktiot f ja g ovat toistensa käänteisfunktioita, on g(f(x)) = x. Mikäli kumpikin funktio on derivoituva, voidaan yhtälö derivoida puolittain yhdistetyn funktion derivoimissääntöä käyttäen, jolloin saadaan g'(f(x))f'(x) = 1 eli

f'(x) = .

Funktion f derivaatta on siis saatu lausutuksi käänteisfunktion g derivaatan avulla. Kaava kirjoitetaan usein muotoon f'(x) = 1/g'(y), jolloin on merkitty y = f(x).

Tulos on käyttökelpoinen monien alkeisfunktioiden derivaattojen johtamisessa sekä lisäksi tapauksissa, missä käänteisfunktion lauseketta ei voida lausua alkeisfunktioiden avulla.

Esimerkiksi funktiolla

g(x) =

on käänteisfunktio f, mutta tätä ei voida esittää alkeisfunktioiden avulla. Koska g(2) = , on f() = 2. Käänteisfunktion derivoimiskaavan mukaisesti on tällöin

f'() = = .

käänteisfunktio  käänteisfunktio  derivoituvuus  derivointi (alkeisfunktioiden)  alkeisfunktio

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12