Sisällön pääryhmät Derivaatta Derivointisäännöt [ 1 2 3 4 ] ESITIEDOT:  derivaatta KATSO MYÖS:  alkeisfunktioiden derivaatat

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Implisiittinen derivointi on yhdistetyn funktion derivoimissäännön sovellus tapaukseen, missä funktiota ei ole annettu suoraan, vaan se tunnetaan yhtälönä, jonka argumentin arvot x ja funktion arvot y toteuttavat, esimerkiksi x⁴ + y⁴ = 2xy⁵. Jos löytyy pisteitä (x, y), jotka toteuttavat yhtälön, voidaan periaatteessa ratkaista y muuttujan x funktiona: y = y(x). Käytännössä ei välttämättä ole helppoa tai edes mahdollista löytää tälle funktiolle yksinkertaista lauseketta.

Jos funktio y(x) on olemassa, se toteuttaa siis yhtälön

x⁴ + y(x)⁴ = 2xy(x)⁵.

Jos voidaan olettaa, että funktio y on derivoituva, derivoidaan em. yhtälön molemmat puolet muuttujan x suhteen mm. yhdistetyn funktion derivoimissääntöä käyttäen:

4x³ + 4y(x)³y'(x) = 2y(x)⁵ + 10xy(x)⁴y'(x).

Tästä voidaan ratkaista y'(x):

y'(x) = = .

Tulos sisältää kuitenkin edelleen tuntemattoman lausekkeen y(x). Jos kuitenkin tiedetään arvopari (x, y), joka toteuttaa alkuperäisen yhtälön, saadaan funktion derivaatta tässä pisteessä. Esimerkkitapauksessa piste (1, 1) on käyrällä, jolloin siis y(1) = 1. Vastaava derivaatta on

y'(1) = = .

Funktion y derivoituvuus ei aina ole itsestään selvää. Esimerkiksi eo. yhtälö toteutuu myös origossa, jolloin siis on y(0) = 0. Tämä on kuitenkin funktion epäjatkuvuuspiste eikä derivaattakaan voi tällöin olla olemassa.

yhdistetty funktio  yhtälö  derivoituvuus  käyrä (taso-)

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12