Tasokayra

Sisällön pääryhmät -->

Käyrät ja pinnat -->

Käyrä [ 1 2 3 4 ]
ESITIEDOT: [#]

funktiokäsite, [#]

reaalifunktiot, [#]

yhtälöt,

koordinaatistot, [#]

piste
KATSO MYÖS: [#]

suora,

derivaatta, [#]

tangentti ja normaali, [#]

pinta

Kansisivu

Sisältö

Hakemisto

Tasokäyrä

Taso- tai avaruuskäyrän täsmällinen määrittely ei ole aivan yksinkertaista. Mikäli esiintyvät funktiot ovat riittävän säännöllisiä (esim. jatkuvia tai derivoituvia), voidaan tasokäyriä luonnehtia seuraavilla tavoilla:

Ne tason pisteet, joiden suorakulmaiset koordinaatit x ja y toteuttavat yhtälön y = f(x), muodostavat käyrän. Esimerkiksi paraabeli y = x² tai itseisarvo y = |x|.
Ne tason pisteet, joiden suorakulmaiset koordinaatit toteuttavat muotoa F (x, y) = 0 olevan yhtälön, muodostavat usein käyrän. Esimerkeiksi sopivat ympyrä x² + y² - 1 = 0, paraabeli x² - y = 0, suora x + 2y - 3 = 0 tai Cartesiuksen lehti x³ + y³ - 3xy = 0.
Muoto y = f(x) on erikoistapaus tästä, koska yhtälö voidaan aina saattaa muotoon F (x, y) = f(x) - y = 0. Toisaalta yhtälö F (x, y) = 0 ei välttämättä esitä käyrää; esimerkiksi yhtälön x² + y² = 0 toteuttaa vain yksi piste, origo, ja yhtälöä x²+y²+1 = 0 ei toteuta mikään tason piste.
Tason pisteet, joiden napakoordinaatit r ja toteuttavat yhtälön r = f(), muodostavat käyrän. Arkhimedeen spiraali r = ja logaritminen spiraali r = e ovat esimerkkejä.
Käyrä voidaan määritellä muotoa x = x(t), y = y(t) olevan parametriesityksen avulla. Kun parametri t saa tietyt arvot, esimerkiksi arvot joltakin väliltä [a, b], vastaa jokaista parametriarvoa käyrän piste (x(t), y(t)). Esimerkiksi ympyrä x² + y² = 4 voidaan esittää muodossa x = 2 cos t, y = 2 sin t, missä t [0, 2].
Parametriesitys voidaan kirjoittaa myös vektorimuotoon: r(t) = x(t) i+ y(t) j, missä r(t) on parametriarvoa t vastaavan käyrän pisteen paikkavektori.