[#] Sisällön pääryhmät --> Geometriset probleemat --> Vektorigeometriaa [ 1 2 3 ]
ESITIEDOT: [#] vektori, [#] vektorialgebra, [#] koordinaatistot, [#] piste, [#] suora, [#] taso
KATSO MYÖS: [#] geometriset probleemat, [#] kolmio, [#] kulma, [#] ympyrä
[#] Kansisivu
[#] Sisältö
[#] Hakemisto

Esimerkki 1 vektorigeometriasta

Kolmion keskijanojen leikkaaminen samassa pisteessä voidaan helposti todistaa vektorigeometrian menetelmin.

Kolmion kärkipisteet olkoot A, B ja C ja olkoot kiinteästä pisteestä O näihin pisteisiin osoittavat vektorit a, b ja c (pisteiden paikkavektorit). Olkoon K janan AC keskipiste ja valitaan piste M keskijanalta BK siten, että |KM| : |MB| = 1 : 2. Tällöin saadaan seuraavat vektoriesitykset:

--O-->K = -O-->A + -A--->K = -O-->A +1 2(-OC--> - -OA-->) = 1 2(-O-->A + -O-->C)
= 1 2(a + c);
-O-M--> = -O-K--> + -K-M --> = -O--->K +1 3(-O--->B - -O-K-->) = 2 3 -O-K--> +1 3 -O--->B
= 1 3(a + b + c).

Vektorin ----> OM esitys on siis symmetrinen vektoreiden a, b, c suhteen, ts. samaan tulokseen tultaisiin laskemalla vektoriesitys millä tahansa keskijanalla sijaitsevalle pisteelle, joka jakaa kyseisen janan suhteessa 1 : 2. Tästä seuraa, että näiden jakopisteiden tulee yhtyä, jolloin väite tulee todistetuksi.

  [#] kolmio
 [#] keskijana (esimerkki)
 [#] keskijana (esimerkki)
 [#] keskijana (esimerkki)
 [#] keskijana
 [#] paikkavektori
 [#] yhteenlasku (vektorien)
 [#] skalaarilla kertominen (vektorien)

Kivelä, M niinkuin matematiikka, versio 1.12