![]() ![]() ![]() ESITIEDOT: ![]() ![]() ![]() ![]() KATSO MYÖS: ![]() ![]() |
|
Kolmion kärkipisteet olkoot (x1, y1), (x2, y2) ja (x3, y3). Tavoitteena on analyyttisen geometrian keinoin osoittaa, että kolmion keskijanat leikkaavat toisensa samassa pisteessä.
Kolmion sivujen keskipisteiden koordinaatit (u1, v1), (u2, v2) ja (u3, v3) saadaan keskiarvoina kunkin sivun päätepisteiden koordinaateista:
u1 = ![]() | u2 = ![]() | u3 = ![]() |
v1 = ![]() | v2 = ![]() | v3 = ![]() |
Keskijanasuorien yhtälöt ovat
y - y1 | = | ![]() | ||
y - y2 | = | ![]() | ||
y - y3 | = | ![]() |
(2x1 - x2 - x3)(y - y1) | = | (2y1 - y2 - y3)(x - x1), | ||
(2x2 - x3 - x1)(y - y2) | = | (2y2 - y3 - y1)(x - x2), | ||
(2x3 - x1 - x2)(y - y3) | = | (2y3 - y1 - y2)(x - x3). |
Ratkaisemalla yhtälöryhmä algebrallisesti — mikä vaatii kyllä hieman työntekoa — todetaan, että sillä on yksi ratkaisu:
x = (x1 + x2 + x3), y =
(y1 + y2 + y3).
Keskijanat siis leikkaavat toisensa tässä pisteessä.
  | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12