[#] Sisällön pääryhmät --> Geometriset probleemat --> Analyyttista geometriaa [ 1 2 ]
ESITIEDOT: [#] koordinaatistot, [#] piste, [#] suora, [#] taso
KATSO MYÖS: [#] geometriset probleemat, [#] ympyrä
[#] Kansisivu
[#] Sisältö
[#] Hakemisto

Esimerkki 1 analyyttisestä geometriasta

Kolmion kärkipisteet olkoot (x1, y1), (x2, y2) ja (x3, y3). Tavoitteena on analyyttisen geometrian keinoin osoittaa, että kolmion keskijanat leikkaavat toisensa samassa pisteessä.

Kolmion sivujen keskipisteiden koordinaatit (u1, v1), (u2, v2) ja (u3, v3) saadaan keskiarvoina kunkin sivun päätepisteiden koordinaateista:

u1 = 1 2(x2 + x3),u2 = 1 2(x3 + x1),u3 = 1 2(x1 + x2),
   
v1 = 12(y2 + y3), v2 = 12(y3 + y1), v3 = 12(y1 + y2).

Keskijanasuorien yhtälöt ovat

y - y1 = v1---y1- u1 - x1 (x - x1),
y - y2 = v2---y2- u2 - x2 (x - x2),
y - y3 = v3 - y3 -------- u3 - x3 (x - x3).

Kun näihin sijoitetaan edellä esitetyt sivujen keskipisteiden koordinaatit, saadaan sieventämisen jälkeen lineaarinen yhtälöryhmä

(2x1 - x2 - x3)(y - y1) = (2y1 - y2 - y3)(x - x1),
(2x2 - x3 - x1)(y - y2) = (2y2 - y3 - y1)(x - x2),
(2x3 - x1 - x2)(y - y3) = (2y3 - y1 - y2)(x - x3).

Jos keskijanat leikkaavat toisensa samassa pisteessä, tulee tämän pisteen koordinaattien toteuttaa jokaisen keskijanan yhtälö. Kyse on siis siitä, onko edellä olevalla kolmen yhtälön ryhmällä ratkaisua (x, y), joka samanaikaisesti toteuttaisi kaikki kolme yhtälöä.

Ratkaisemalla yhtälöryhmä algebrallisesti — mikä vaatii kyllä hieman työntekoa — todetaan, että sillä on yksi ratkaisu:

x = 1 3(x1 + x2 + x3), y = 1 3(y1 + y2 + y3).

Keskijanat siis leikkaavat toisensa tässä pisteessä.

  [#] kolmio
 [#] koordinaatisto (xy-)
 [#] keskijana (esimerkki)
 [#] keskijana (esimerkki)
 [#] keskijana (esimerkki)
 [#] keskijana
 [#] suora (yhtälö)
 [#] kulmakerroin
 [#] yhtälöryhmä (lineaarinen)

Kivelä, M niinkuin matematiikka, versio 1.12