Esimerkki 1 synteettisesta geometriasta

Sisällön pääryhmät -->

Geometriset probleemat -->

Synteettistä geometriaa [ 1 2 ]
ESITIEDOT: [#]

piste,

suora,

taso
KATSO MYÖS: [#]

geometriset probleemat, [#]

kolmio,

kulma,

ympyrä

Kansisivu

Sisältö

Hakemisto

Esimerkki 1 synteettisestä geometriasta

Olkoon tehtävänä todistaa, että kolmion keskijanat leikkaavat toisensa samassa pisteessä, joka jakaa kunkin keskijanan suhteessa 2 : 1 kärjestä vastaisen sivun keskipisteeseen lukien.

Kolmion ABC kaksi keskijanaa olkoot AD ja BE ja näiden leikkauspiste M. Tavoitteena on osoittaa, että |BM| : |ME| = 2 : 1. Tätä varten tehdään seuraava apupiirros: Jatketaan keskijanaa AD osan MD pituisella janalla DP . Yhdistetään piste P pisteisiin B ja C sekä piste C pisteeseen M.

Keskijanan määritelmän mukaan ovat janat BD ja DC yhtä pitkät; apukonstruktiosta seuraa, että myös MD ja DP ovat yhtä pitkät. Kolmiot MDC ja P DB ovat tällöin yhtenevät (SKS), mistä seuraa, että janat BP ja MC ovat yhtä pitkät ja yhdensuuntaiset. Nelikulmio BP CM on siis suunnikas. Suunnikkaan vastakkaisina sivuina ovat janat BM ja P C yhtä pitkät.

Kolmiot AP C ja AME ovat yhdenmuotoiset (KK), koska suorat BM ja P C ovat suunnikkaan sivuina yhdensuuntaiset. Yhdenmuotoisuussuhde on 2, koska jana AC on kaksi kertaa janan AE pituinen. Tällöin pätee janojen pituuksille myös |ME| = 1
2 |P C| = 1
2 |BM|, jolloin |BM| : |ME| = 2.

Vastaavasti voidaan osoittaa, että piste M jakaa janan AD suhteessa 2 : 1.

Toistamalla päättely siten, että keskijanan AD sijasta käytetään kärjestä C lähtevää keskijanaa CF , todetaan, että kaikki keskijanat leikkaavat toisensa samassa pisteessä M, joka jakaa keskijanat suhteessa 2 : 1.

Esitetty todistus lepää kolmioiden yhtenevyyttä ja yhdenmuotoisuutta koskevien tulosten varassa. Tämä on tyypillistä matemaattisille todistuksille yleensäkin: Tulosten — lauseiden tai teoreemojen — todistamisessa nojaudutaan aiemmin todistettuihin lauseisiin. Jostakin on kuitenkin lähdettävä liikkeelle. Pohjana ovat tällöin ns. aksioomat, lausumat, joita sovitaan pidettävän tosina. Elementaarigeometriassa niiden voidaan sanoa olevan tosia ’itsestäänselvyytensä’ takia; yleisemmin voidaan sanoa, että ne ovat tosia, koska tarkastelun kohde tulee määritellyksi sen kautta, että esitetyt aksioomat ovat voimassa!