[#] Sisällön pääryhmät --> Integraali --> Integroimistekniikkaa [ 1 2 3 4 5 ]
ESITIEDOT: [#] integraalifunktio, [#] määrätty integraali, [#] derivointisäännöt
KATSO MYÖS:
[#] Kansisivu
[#] Sisältö
[#] Hakemisto

Esimerkkejä sijoitusmenettelystä II

3) Hieman hankalampana esimerkkinä olkoon seuraava, missä integraali aluksi jaetaan kahteen osaan:

integral 2---sin-x- 2 + cos x dx = integral ---2----- 2 + cosx dx + integral ---sin-x-- 2 + cosx dx.

Tässä jälkimmäiseen sijoitetaan t = 2 + cos x, jolloin dt = - sin x dx. Syynä on se, että osoittaja on sama kuin nimittäjän derivaatta ja osoittajassa on siis suoraan dt. Edelliseen integraaliin sijoitetaan hieman erikoisempaa: u = tan(x/2) eli x = 2 arctan u, jolloin

dx = -2du--- 1 + u2.

Trigonometrian kaavojen avulla voidaan osoittaa, että

cos x = 2 1---tan--(x/2)- 1 + tan2(x/2) = 2 1---u-- 1 + u2.

Integraali muuntuu siis muotoon

integral 2 ---------2- 2 + 1---u-- 1 + u2  2du -----2- 1 + u + integral dt -- t = integral 4 --2---- u + 3 du + integral dt -- t.

Jälkimmäinen integroituu suoraan logaritmiksi. Edellinen voidaan sijoituksella u = V~ 3 v, du = V~ 3- dv palauttaa arctan-funktioon:

integral 4 V~ 3- ---2----- 3(v + 1) dv + integral dt -- t = 4 V~ 3- ----- 3 arctan v + ln t + C.

Palaamalla alkuperäiseen muuttujaan x saadaan

4 V~ -- V~ --arctan(u/ 3) + lnt + C 3 -4-- -1-- = V~ 3 arctan( V~ 3 tan(x/2)) + ln(2 + cosx) + C.

  [#] integraalifunktio
 [#] trigonometria (johdannaiskaavat)
 [#] arcus-funktio
 [#] integrointi (kaavat)
 [#] integrointi (kaavat)

Kivelä, M niinkuin matematiikka, versio 1.12