![]() ![]() ![]() ESITIEDOT: ![]() ![]() ![]() KATSO MYÖS: |
|
3) Hieman hankalampana esimerkkinä olkoon seuraava, missä integraali aluksi jaetaan kahteen osaan:
dx =
dx +
dx.
Tässä jälkimmäiseen sijoitetaan t = 2 + cos x, jolloin dt = - sin x dx. Syynä on se, että osoittaja on sama kuin nimittäjän derivaatta ja osoittajassa on siis suoraan dt. Edelliseen integraaliin sijoitetaan hieman erikoisempaa: u = tan(x/2) eli x = 2 arctan u, jolloin
dx = .
Trigonometrian kaavojen avulla voidaan osoittaa, että
cos x = =
.
Integraali muuntuu siis muotoon
+
=
du +
.
Jälkimmäinen integroituu suoraan logaritmiksi. Edellinen voidaan sijoituksella
u = v, du =
dv palauttaa arctan-funktioon:
dv +
=
arctan v + ln t + C.
Palaamalla alkuperäiseen muuttujaan x saadaan
  | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12