[#] Sisällön pääryhmät --> Integraali --> Integroimistekniikkaa [ 1 2 3 4 5 ]
ESITIEDOT: [#] integraalifunktio, [#] määrätty integraali, [#] derivointisäännöt
KATSO MYÖS:
[#] Kansisivu
[#] Sisältö
[#] Hakemisto

Esimerkkejä osittaisintegroinnista

1) Integraali

integral x2ex dx

voidaan laskea kahdella peräkkäisellä osittaisintegroinnilla. Ensimmäinen antaa seuraavaa:

integral x2 ex v u' dx = x2 ex v u - integral 2x ex v' u dx.

Kun saatuun integraaliin sovelletaan uudelleen osittaisintegrointia saadaan kaikkiaan

x2ex - integral x 2x e v u' dx = x2ex - x 2x e v u + integral x 2 e v' u dx
= x2ex - 2xex + 2ex + C = ex(x2 - 2x + 2) + C.

2) Integroitavan funktion tulkitseminen sopivaksi tuloksi edellyttää toisinaan lausekkeen hahmottamista uudella tavalla. Logaritmifunktio voidaan integroida osittaisintegroinnin avulla seuraavasti:

integral e 1 ln x dx = integral e 1 1 ln x u' v dx = / e 1 x lnx u v - integral e 1 x (1/x) - - u v' dx
= e - integral e 1dx = e - (e - 1) = 1.

3) Lukija miettiköön, mitä vikaa on seuraavassa päättelyssä: Osittaisintegroinnilla saadaan

integral 1- x dx = integral 1 . 1- x dx = x . 1- x + integral x . 1-- x2 = 1 + integral 1- x dx.

Siis

integral 1 -- x dx = 1 + integral 1 -- x dx,

mistä seuraa 0 = 1, kun integraalit supistetaan pois.

  [#] integraalifunktio
 [#] määrätty integraali
 [#] logaritmifunktio

Kivelä, M niinkuin matematiikka, versio 1.12